Grupa: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 4. 6. 2011, 14:08

Grupa je v matematice algebraická struktura, která popisuje a formalizuje koncept symetrie. Formálně se zavádí jako množina spolu s binární operací splňující níže uvedené axiomy. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup.

Teorie grup vznikla počátkem 19. století. U jejího zrodu stál matematik Évariste Galois, který dokázal, že polynomiální rovnice nelze obecně řešit pomocí odmocnin. Grupy našly později uplatnění také v geometrii, teorii čísel a jejich reprezentace také v částicové fyzice a teorii strun. Klasifikace jednoduchých konečných grup byla dokončena koncem 20. století a patří k největším výsledkům matematiky vůbec.

Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – kromě fyziky i v informatice, kryptografii a krystalografii. Příklady grup jsou například celá čísla se sčítáním, racionální čísla bez nuly s násobením, symetrie pravidelných geometrických útvarů a automorfismy různých algebraických struktur.

Definice grupy

Grupou nazýváme množinu G spolu s binární operací na ní, která splňuje tři grupové axiomy. Tato binární operace vezme dva prvky a výsledek je jeden prvek z G. Značí se a∘b=c, anebo jenom skráceně ab=c. Podle kontextu říkáme, že c je složení, resp. součin, resp. součet prvků a a b. Dvojice (G, ∘) se nazývá grupa, pokud platí

Axiom	Formální zápis	Vysvětlení
Asociativita:	$\forall a,b,c\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\,$	Výsledek složení více než dvou prvků nezávisí na ozávorkování.
Existence neutrálního prvku:	$(\exists e)(\forall a)\quad a\circ e=e\circ a=a$	Existuje neutrální prvek e takový, že složení libovolného prvku a s neutrálným prvkem je opět a
Existence inverzních prvků:	$(\forall a)(\exists b)\quad a\circ b=b\circ a=e$	Každý prvek má inverzní prvek takový, že jejich složení je neutrální prvek.

Prvek b z posledního axiomu se také nazývá inverzní prvek k a a značí se a^-1. Lze ukázat, že neutrální prvek je v grupě jenom jeden a že inverzní prvek k $a$ je dán jednoznačně.

Množina G z této definice se označuje jako nosič nebo nosná množina grupy.

Označíme-li operaci jako sčítání (+), mluvíme o aditivní grupě a píšeme (G, +). Obvykle se používá aditivní notace pro grupy abelovské a neutrální prvek se pak zapisuje jako 0. Označíme-li operaci jako násobení ( $\cdot$ ), hovoříme o multiplikativní grupě a píšeme (G, •). V takovém případě se často znak • nepíše a součin prvků a,b se značí jako ab. Neutrální prvek multiplikativní grupy se obvykle značí jako 1.

Ekvivalentně lze grupu definovat pomocí nulární operace (tj. konstanty) e představující neutrální prvek, unární operace ^-1, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní a binární operaci $\circ$ . Místo označení "grupa $\scriptstyle (\mathbb {Z} ,+)\,\!$ " se pak používá označení "grupa $\scriptstyle (\mathbb {Z} ,+,0,-)\,\!$ ". Výše uvedené axiomy lze pak přepsat do výroků, které neobsahují existenční kvantifikátory. Třída všech grup proto tvoří varietu^[1] a tak lze na grupy vztáhnout mnohé výsledky dokázané v univerzální algebře.

Ilustrativní příklady

Celá čísla

Jedním z nejjednodušších příkladl grupy je množina celých čísel spolu s operací sčítání.^[2]^[3]

Operace sčítání je na této množině binární operace, protože součtem dvou celých čísel je opět celé číslo.
Sčítání je asociativní, $a+(b+c)=(a+b)+c$
Nula je neutrální prvek, protože pro každé celé číslo a platí $a+0=0+a=a$
Pro každé celé číslo a existuje opačné číslo -a, $a+(-a)=(-a)+a=0$ .

Axiomy jsou tedy splněny. Tato grupa se obvyle značí $\scriptstyle (\mathbb {Z} ,+)$ .

Dihedrální grupa D₄

Symetrie čtverce jsou definovány jako rotace, zrcadlení resp. jejich složení, které převádí čtverec sám na sebe. Množina všech takových symetrií tvoří grupu, která má osm prvků a značí se D₄.^[3]^[4] Následuje popis těchto symetrií:

id (identita)	r₁ (rotace o 90° doprava)	r₂ (rotace o 180° doprava)	r₃ (rotace o 270° doprava)
f_v (vertikální překlopení)	f_h (horizontální překlopení)	f_d (diagonální překlopení)	f_c (anti-diagonální překlopení)
Prvky grupy symetrií čtverce (D₄). Vrcholy jsou očíslovány a obarveny jenom za účelem vizualizace operací.

Násobení v grupě D₄
•	id	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
id	id	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
r₁	r₁	r₂	r₃	id	f_c	f_d	f_v	f_h
r₂	r₂	r₃	id	r₁	f_h	f_v	f_c	f_d
r₃	r₃	id	r₁	r₂	f_d	f_c	f_h	f_v
f_v	f_v	f_d	f_h	f_c	id	r₂	r₁	r₃
f_h	f_h	f_c	f_v	f_d	r₂	id	r₃	r₁
f_d	f_d	f_h	f_c	f_v	r₃	r₁	id	r₂
f_c	f_c	f_v	f_d	f_h	r₁	r₃	r₂	id
Prvky id, r₁, r₂ a r₃ tvoří podgrupu, zvýrazněnou červeně (levá horní oblast). Prvek levé a pravé třídy rozkladu podle této podgrupy je zvýrazněna zelenou (v posledním řádku) a žlutou (v posledním sloupci).

Identita (id) nechává čtverec nezměněn
Rotace čtverce o 90°, 180°, a 270° doprava (r₁, r₂ and r₃)
Překlopení (také reflexe nebo zrcadlení) kolem vetrikální a horizontální střední úsečky (f_h and f_v), a kolem dvou diagonál (f_d and f_c).

Binární operaci v této grupě definujeme jako skládání zobrazení: osm symetrií jsou zobrazení ze čtverce na čtverec a dvě symetrie se dají složit do nové symetrie. Je zřejmé, že výsledek bude opět symetrie čtverce. Výsledek operace "nejdříve a a pak b" se obvykle značí zprava doleva jako b∘a. Stejné značení se totiž používá pro skládání zobrazení. Například r_1∘r_1=r_2.

Tabulka vpravo znázorňuje výsledky všech možných složení. Například výsledek složení rotace o 270° doprava (r₃) a horizontálního překlopení (f_h) je stejný jako překlopení kolem diagonály (f_d). Formálně,

f_{h}\circ r_{3}=f_{d}

což je v tabulce zvýrazněno modrou barvou. Vidíme také, že grupa není komutativní, neboť například

f_{v}\circ r_{1}=f_{d}\neq f_{c}=r_{1}\circ f_{v}.

Dějiny

Évariste Galois ve věku 15 let. Přestože zemřel ve věku 20 let, je považován za jednoho ze zakladatelů teorie grup

Koncept grupy se vyvinul z různých oblastí matematiky.^[5]^[6]^[7] Původní motivace pro teorii grup byla snaha řešit polynomiální rovnice stupně vyššího než 4. Kvadratické rovnice uměli lidé řešit už v starověkých civilizacích.^[8] Lodovico Ferrari uměl řešit polynomiální rovnice stupně 3 a 4 kolem roku 1540,^[9] řešení publikoval spolu s Gerolamo Cardanem v knize Ars Magna v roce 1545. Polynomiální rovnice vyššího stupně však obecně nelze řešit pomocí odmocnin. Počátkem 19. století francouzský matematik Évariste Galois, navazujíc na starší práce Ruffiniho a Lagrangeho naleznul kritérium pro řešitelnost polynomiálních rovnic pomocí radikálů. Existence takového řešení závisí na grupě symetrií kořenů daného polynomu. Tato grupa se dnes nazývá Galoisova grupa a její prvky jsou jisté permutace kořenů.

Galoisovy myšlenky byly původně odmítnuty jeho současníky a publikovány až posmrtně.^[10]^[11] Obecnější permutační grupy byly zkoumány Augustinem Cauchym. První definici konečné grupy a také název "grupa" zavedl Arthur Cayley v publikaci On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1 (1854).

Geometrie byla druhou oblastí, v které byly grupy systematicky využívány, hlavně grupy symetrií geometrických prostorů zavedené Felixem Kleinem v Erlangenském programu v roce 1872.^[12] Klein využil teorii grup pro popis a kategorizaci nově se objevyvších geometrií jako hyperbolická geometrie, projektivní geometrie a starší Euklidova geometrie. Dále tento koncept rozvinul Sophus Lie, který zavedl pojem a studium Lieových grup v roce 1884.^[13]

Třetí oblast, která přispěla ke vzniku a rozšíření teorie grup byla teorie čísel. Jisté struktury odpovídající Ábelovým grupám byly implicitně použity v Gaussově číselně teoretickém díle Disquisitiones Arithmeticae a explicitněji je používal i Leopold Kronecker.^[14] V roce 1847, Ernst Kummer v raných pokusech dokázat Velkou Fermatovu větu zavedl grupy popisující faktorizaci na prvočísla.^[15]

Spojování těchto různých motivů do jednotné teorie grup začalo Jordanovou publikací Traité des substitutions et des équations algébriques (1870).^[16] Walther von Dyck (1882) zavedl první moderní definici grupy.^[17]

Počátkem 20. století získaly grupy široké přijetí díky práci Ferdinanda Frobenia a Williama Burnsidea, kteří pracovali na teorii reprezentací konečných grup a také díky článkům Richarda Brauera (modulární teorie reprezentací) a Issaie Schura.^[18] Teorie Lieových grup, a obecněji lokálně kompaktních grup byla publikována Hermannem Weylem, Élie Cartanem a mnoha dalšíma.^[19] Její algebraický protějšek, teorie algebraických grup, byla prvně popsána Chevalleyem (koncem 30. let) a později Armandem Borelem a Jacquesem Titsem.^[20]

V rocích 1960-61 zorganizovala Univerzita v Chicagu Rok teorie grup a teoretici jako Daniel Gorenstein, John G. Thompson a Walter Feit založili spolupráci která, s přispěním mnohých jiných matematiků, vedla ke klasifikaci jednoduchých konečných grup v roce 1982. Tento projekt předčil předchozí matematická úsilí svým rozsahem a to jak délkou důkazů, tak počtem zainteresovaných matematiků. Ačkoliv je klasifikace hotova, výzkum pokračuje s cílem zjednodušit důkaz této klasifikace.^[21] V současnosti je teorie grup pořád se rozvíjející oblast matematiky, která má vliv na mnoho souvisejících teorií.

Základní grupové pojmy

V této kapitole budeme značit grupu multiplikativně, t.j. binární operace bude • a součin prvků a a b budeme značit a•b, anebo a+b pro Ábelovské grupy.

Řád prvku a grupy

Řádem grupy $G$ se nazývá mohutnost |G| její nosné množiny.

Řádem prvku g se nazývá nejmenší přirozené číslo n takové, že gⁿ=g•g• ... •g=e (součin n krár prvku g) anebo ∞, pokud takové $n$ neexistuje.^[22]

Cyklická grupa

Hlavní článek: Cyklická grupa

Grupa G se nazývá cyklická, pokud je generována jedným prvkem. To znamená, že existuje prvek x∈G takový, že každý prvek g ∈ G se dá napsat jako xⁿ pro nějaké celé číslo n,^[23] kde xⁿ=x•x• ... •x je prvek x vynásobenej sám se sebou n krát a x^-n=x^-1•x^-1•...•x^-1 je prvek x^-1 vynásobenej sám se sebou n krát pro nějaké přirozené číslo n. Konečná cyklická grupa řádu n se dá reprezentovat jako množina řešení rovnice zⁿ=1 v komplexní rovině, což je pro n=6 znázorněno na obrázku vpravo. Grupové násobení je pak obyčejné násobení komplexních čísel. Jiná reprezentace je množina zbytkových tříd $\scriptstyle \mathbb {Z} _{n}$ spolu se sčítáním modulo n.

Pokud je cyklická grupa nekonečná, je izomorfní grupě celých čísel $\scriptstyle (\mathbb {Z} ,+)$ . Pokud je konečná a má n prvků, je izomorfní množině zbytkových tříd $\scriptstyle (\mathbb {Z} _{n},+)$ .^[24]

Abelovská grupa

Grupu $(G,+)$ nazýváme abelovskou (také komutativní či Abelovou), platí-li $a+b=b+a$ pro všechna a, b ∈ G. Pojmenování je po norském matematikovi Henrikovi Abelovi.^[25] Příklady abelovských grup jsou celá čísla spolu s operací sčítání $\scriptstyle (\mathbb {N} ,+)$ , reálna čísla se sčítáním $\scriptstyle (\mathbb {R} ,+)$ , množiny zbytkových tříd $\scriptstyle (\mathbb {Z} _{n},+)$ , vektorové prostory se sčítáním, anebo nenulová reálna čísla spolu s operací násobení $\scriptstyle (\mathbb {R} \backslash \{0\},\cdot )$ . Každá abelovská grupa se dá chápat jako modul nad okruhem celých čísel a naopak, modul nad okruhem celých čísel je abelova grupa.

Konečné abelovské grupy se dají jednoduše klasifikovat. Každá konečná abelovská grupa je izomorfní direktní sumě cyklických grup, jejichž řády jsou mocniny prvočísel. Speciální případ tohto tvrzení popisuje čínská věta o zbytcích, která byla částečně popsána už v knize Sun-c' suan-ťing čínského matematika Sun-c’ kolem mezi 3. a 5. stoletím. ^[26]

Obecněji, každá konečně generovaná abelovská grupa je součtem volných abelovských grup (izomorfních $\scriptstyle (\mathbb {Z} _{n},+)$ ) a cyklických grup řádů mocnin prvočísel.^[27]^[28] Například racionální čísla spolu se sčítáním nejsou konečně generovány. ^[29]

Podgrupa

Podgrupa grupy G je každá grupa, která je obsažena v grupě G. Formálněji Podgrupou grupy (G, •) se nazývá každá grupa (H, •), taková, že H ⊆ G. Ekvivalentně je podgrupa (G, •) každá množina H ⊆ G taková, že pro každé dva prvky h₁, h₂ ∈ H je i h₁ • h₂ ∈ H a také h₁^-1 ∈ H.

V příkladu Dehydrální grupy D₄ popsaném výše, identita a rotace tvoří podgrupu $R=\{id,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ zvýrazněnou v tabulce červenou barvou. Složení libovolných rotací je totiž opět rotace a inverze k rotaci je také rotace.

Samotná grupa G je vždy podgrupou G. Podobně jednoprvková grupa, která obsahuje jenom jednotkový prvek, je podgrupou G. Tyto podgrupy se nazývají triviální podgupry. Pokud K je podgrupa H a H je podgrupa G, je také K pogrupa G. Znalost struktury podgup dané grupy a důležitá pro prorozumění grupy jako celku, ačkoliv obecně grupa nemusí být jednoznačně určena strukturou svých vlastních podgrup.^[30]

Pro libovolnou množinu S ⊆ G můžme definovat podgrupu generovanou S, která se skládá ze všech součinů prvků z S a jejich inverzí. Je to nejmenší podgrupa G obsahující množinu S.^[31] Ve výše uvedeném příkladu podgrupa generována r₂ a f_v obsahuje kromě těchto dvou prvků také f_v•r₂=f_h. Protože jak r₂, tak f_h, f_v jsou samy k sobě inverzní a libovolný součin těchto prvků je opět prvkem množiny {id, r₂, f_v, f_h}, jedná se o podgrupu. Tato podgrupa je komutativní.

Jednoduchá a polojednoduchá grupa

Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy, je označována jako jednoduchá grupa (někdy se též používá prostá grupa). Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální abelovské podgrupy, pak je označována jako polojednoduchá grupa (také poloprostá grupa).

U Lieových grup se definuje jednoduchá Lieova grupa jako taková, která neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy kromě diskrétních.^[32]

Homomorfizmus a izomorfizmus grup

Grupový homomorfizmus je zobrazení mezi grupama, které zachovává grupovou strukturu. Explicitně, a: G → H je homomorfizmus mezi (G,•) a (H,*), pokud pro libovolné 2 prvky g, k z G platí

a(g\cdot k)=a(g)*a(k)

.

Z této definice se dá ukázat, že grupový homomorfizmus zobrazuje neutrální prvek e_G v grupě G na neutrální prvek e_H v grupě H a také inverzní prvek na inverzní:

a(e_{G})=e_{H},\quad a(g^{-1})=(a(g))^{-1}.

Homomorfizmus tedy zachovává strukturu, která je určena grupovými axiomy.^[33]

Dvě grupy G a H se nazývají izomorfní, pokud existují grupové homomorfizmy a: G→H a b: H→G takové, že složení a∘b=id_H a b∘a=id_H jsou identity. Zobrazení a se nazývá izomorfizmus grup.

Z abstraktního pohledu, izomorfní grupy jsou považovány za objekty reprezentující stejnou strukturu. Například vlastnost g•g=e v grupě G je ekvivalentní vlastnosti a(g)*a(g)=e_H v grupě H.

Izomorfizmus G→G se nazývá automorfizmus. Každý prvek g∈G určuje vnitřní automorfizmus f(x)=g^-1•x•g. Automorfizmus, který není vnitřní, se nazývá vnější.

Rozkladové třídy

V mnohých situacích je užitečné považovat dva prvky grupy za ekvivalentní, pokud se liší jenom o násobek nějaké dané podgrupy. Uvažujme například grupu D₄ popsanou výše a její podgrupu R={id, r₁, r₂, r₃}. Pokud uvažujeme nějaké překlopení čtverce (například f_h), tak žádnou rotací už nemůžeme docílit zpátky konfiguraci id, r₁, r₂ nebo r₃. Složení překlopení a rotace je vždy rotace. Rotace tedy nehraje roly, pokud si všímáme jenom, zda bylo nebo nebylo aplikováno nějaké překlopení.

Rozkladové třídy formalizují tuto ideu: podgrupa H grupy G definuje takzvané pravé a levé rozkladové třídy, definovány takto:^[34]

gH=\{g\cdot h;\,h\in H\}\quad {\text{a}}\quad Hg=\{h\cdot g;\,h\in H\}.

Rozkladové třídy pro libovolnou podgrupu H tvoří rozklad G na disjunktní podmnožiny. Přesněji, sjednocení všech levých rozkladových tříd je celé G a libovolné dvě levé rozkladové třídy se buď rovnají, anebo jsou disjunktní.^[35] První případ g₁H = g₂H nastává právě když g₁^-1•g₂ ∈ H, t.j. když se příslušné prvky g₁, g₂ liší jenom o prvek z H. Analogická tvrzení platí pro pravé rozkladové třídy.

Pravé a levé rozkladové třídy se můžou, ale také nemusí rovnat. Pokud se rovnají, t.j. pokud pro všechna g v G platí gH = Hg, pak se podguupa H nazývá normální. Množina všech levých rozkladových tříd se značí G/H a množina všech pravých rozkladových tříd se značí H\G.

V případě grupy D₄ z úvodu a její podgrupy rotací R, levé rozkladové třídy gR jsou buď množina R všech rotací (a identity) pokud g je prvkem R, anebo množina F={f_h, f_v, f_d, f_c} všech překlopení (zvýrazněna v tabulce zeleně) pokud g je nějaké překlopení. Levé rozkladové třídy jsou tedy D₄/R={R, F}.

Normální podgrupa faktorová grupa

Hlavní článek: Faktorová grupa

Podgrupa N se nazývá normální podgrupou grupy G, pokud pro každé g∈G a n∈N existuje n'∈ N takové, že g•n=n'•g, t.j. levé a pravé rozkladové třídy se pro všechna g rovnají:

gN=Ng.

Ekvivalentně, H je jádro nějakého homomorfizmu grup G→K.^[36] Každá abelovská podgrupa je normální.

Pokud N je normální podgupa G, je možné zavést na množině rozkladových tříd G/N={gN, g ∈ G} strukturu grupy.^[37]. Grupová operace na množině G/N je definována vztahem (gN) • (hN) = (gh)N pro všechny g,h∈G. Tato grupa se nazývá faktorgrupa. Rozkladová třída e N=N je neutrální prvek této grupy a inverze k gN je třída (gN)⁻¹ = (g⁻¹)N. Z toho vidíme, že zobrazení G → G / N, které prvku g přiradí jeho rozkladovou třídu gN je homomorfizmus grup.^[38]

•	R	F
R	R	F
F	F	R
Tabulka násobení ve faktorové grupě D₄ / R.

V příkladu grupy D₄ je její podgrupa R={id, r₁, r₂, r₃} normální a rozkladové třídy jsou {R,F}, kde F je množina všech překlopení. Grupová operace na faktorové grupě je znázorněna tabulkou vpravo. Například F • F = f_vR • f_vR = (f_v • f_v)R = id R=R.

Podgrupa R je abelovská, a faktorová grupa D₄/R je také abelovská, zatímco D₄ není abelovská.

Generování a prezentace grupy

Faktorové grupy a podgrupy tvoří spolu způsob, kterým je možné každou grupu popsat její prezentací. Každou grupu je možné zadat jako faktor volné grupy nad nějakou generující množinou podle normální podgrupy generovanou relacemi.^[39] Relace jsou výrazi, které se v grupě rovnají neutrálnímu prvku. Grupa zadána generátory a relacemi se zapisuje jako <Gen|Rel> kde Gen je množina generátorů a Rel množina relací.^[40]

Dihedrální grupa D₄ je generována například prvky r₁ a f_v, což znamená že každá symetrie čtverce se dá vyjádřit jako složení konečně mnoho týchto dvoch symetrií a jejich inverzí. Společně s relacema r₁⁴ = f_v ² = (r₁ • f_v)² = 1,^[41] je grupa úplně popsána. Tedy D₄ = <r₁, f_v|r₁⁴, f_v², (r₁•f_v)²>.

Prezentace grupy se dá použít pro konstrukci Cayleyho grafu, který může graficky popsat diskrétní grupy.

Řešitelná grupa

Grupa G se nazývá řešitelná, pokud existuje posloupnost jejich podgrup

G=G_{0}\supset G_{1}\supset G_{2}\supset \ldots \supset G_{n}

takových, že G_i+1 je normální podgrupa G_i a faktorová grupa G_i / G_i+1 je abelovská pro všechna i.^[42]

Slovo řešitelná má historickou souvislost se zkoumáním existence řešení polynomiálních rovnic pomocí radikálů. Galois ukázal, že takové řešení existuje právě když grupa symetrií kořenů polynomu (tzv. Galoisova grupa) má výše uvedenou vlastnost.^[43]

Příklady a aplikace

Čísla

Mnohé systémy čísel, například celá nebo racionální čísla mají přirozenou strukturu grupy. V některých případech jako například u racionálních čísel má jak sčítání tak i násobení grupovou strukturu. Takové číselné systémy se dají zobecnit na algebraické struktury jako jsou okruhy, tělesa, moduly, vektorové prostory a algebry.

Grupa celých čísel spolu se sčítáním $\scriptstyle (\mathbb {Z} ,+)$ byla popsána výše. Naproti tomu celá čísla s operací násobení ( $\scriptstyle \mathbb {Z} ,\cdot$ ) netvoří grupu. Asociativita je splněna, jednotkový prvek je číslo 1, ale k číslům obecně neexistují inverzní prvky (už pro celé číslo a = 2 rovnice ax=1 nemá řešení x v oboru celých čísel).

Pokud chceme, aby k nenulovým číslům existovali inverzní prvky, musíme zavést zlomky a/b. Zlomky celých čísel se nazývají racionální čísla a množina racionálních čísel se značí $\scriptstyle \mathbb {Q}$ . Množina nenulových racionálních čísel spolu s operací násobení $\scriptstyle (\mathbb {Q} \backslash \{0\},\cdot )$ je opět grupa. Součin dvou nenulových racionálních čísel je nenulové racionální číslo, neutrální prvek je 1 a inverzní prvek k nenulovému číslu a/b je nenulové číslo b/a. Racionální čísla (i s nulou) tvoří také grupu vzhledem ke sčítání.

Obecněji, množina všech prvků tělesa tvoří vždy grupu vzhledem ke sčítání a množina všech nenulových prvků tělesa tvoří grupu vhledem k násobení.

•	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1
Tabulka násobení ve multiplikativní grupě $\scriptstyle \mathbb {Z} _{5}\backslash \{0\}$ .

Pro libovolné prvočíslo p, můžme modulární aritmetikou zavést na množině zbytkových tříd $\scriptstyle \mathbb {Z} _{p}$ násobení a $\scriptstyle (\mathbb {Z} _{p}\backslash \{0\},\cdot )$ je pak grupa.^[44] Její prvky se dají reprezentovat jako třídy ekvivalence celých čísel s ekvivalencí n ~ m právě když p|m-n. Množina zbytkových tříd spolu se sčítáním a násobením $\scriptstyle (\mathbb {Z} _{p},+,\cdot )$ je speciálním případem konečného tělesa.^[45] Dá se ukázat, že každá multiplikativní grupa nenulových prvků konečného tělesa je cyklická.^[46] Tyto grupy se používají v asymetrická kryptografii.

Tabulka vpravo znázorňuje multiplikativní grupu nenulových zbytkových tříd modulo 5. Rovnost 3•2=1 například znázorňuje fakt, že 3•2 mod 5=6 mod 5=1. Vidíme, že každý pravek má inverzní prvek (2^-1=3, 4^-1=4) a grupa je cyklická (například prvek 2 generuje celou grupu, neboť 2¹=2, 2²=4, 2³=3, 2⁴=1.)

Další grupy, které pozůstávají z nějakých čísel, popisují následující příklady.

Množina Gaussových čísel $\scriptstyle (\mathbb {Z} [i],+)$ , zobecňuje celá čísla do komplexní roviny.
Množina invertibilních prvků v obecné množině zbytkových tříd $\scriptstyle \mathbb {Z} _{n}$ tvoří vzhledem k násobení grupu.
Množina komplexních čísel absolutní hodnoty 1 spolu s násobením tvoří grupu (značí se S¹).
Množina kvaternionů normy 1 spolu s násobením tvoří grupu (značí se S³).
Kvaternionová grupa je grupa o osmi prvcích, generována prvky {1,i,j,k} v grupě nenulových kvaternionů.

Grupy symetrií

Grupa symetrií je grupa, jejíž prvky jsou symetrie daného matematického objektu, ať už geometrického (jako grupa symetrií čtverce v úvodu) anebo algebraického, například kořeny polynomu.^[47] Teorie grup může být chápana jako studium symetrií. Dá se například dokázat, že každá grupa je grupou symetrie nějakého grafu.^[48] Symetrie v matematice často zjednodušuje studium geometrických, analytických anebo fyzikálních objektů. O grupě se říká, že má akci na objektu X pokud každý prvek grupy provede s objektem operaci kompatibilní s grupovou struturou. Symetrie objektu je pak podgrupa všech takových prvků, které nechávají X nezměněn.

Symetrie dláždění roviny

Rovinné krystalografické grupy (anglicky Wallpaper groups) popisují symetrie periodických dláždění roviny. V příkladu na obrázku vpravo je vzorek tvořen kytkou, která se periodicky opakuje. Grupa symetrií tohto vzoru obsahuje všechny takové transformace roviny, které převádí vzor sám na sebe. Tato grupa se skládá jenom s translací a neobsahuje žádné rotace ani zrcadlení. Jiná periodická dláždění (například nekonečný čtverečkový papír) mají grupu symetrií, která obsahuje kromě translací roviny i různé rotace, zrcadlení a jejich složení. Různých neizomorfních rovinných krystalografických grup existuje celkem 17. Tyto vzory můžme najít často v islámské architektuře, většina z nich se vyskytuje například v paláci Alhambra.^[49] Důkaz, že rovinných krystalografických grup je právě 17, publikoval poprvé E.Fedorov v roce 1891.^[50] Kromě těchto dláždění roviny existují i neperiodická dláždění, jejichž grupa symetrií neobsahuje žádnou translaci. Příkladem je slavné Penroseho pokrytí, což je neperiodické dláždění roviny pomocí konečného počtu typů dlaždiček. Jeho grupa symetrie obsahuje například otočení o pětinu kruhu kolem nějakého bodu.^[51]

Podobná periodická dláždění a jejich grupy symetrií můžeme studovat i v neeuklidovských geometriích. Příklad na obrázku níže vpravo zobrazuje pokrytí hyperbolické roviny trojúhelníky. Příslušná grupa symetrie se nazývá trojúhelníková grupa (v tomto případě (2,3,7)). Prvek řádu 7 trojúhelníkové grupy (2,3,7) (anglicky (2,3,7) triangle group) má akci na hyperbolické rovině, která "otočí" rovinu kolem bodu o 1/7 kruhu takovým způsobem, že převede dláždění samo na sebe.

Symetrie v krystalografii

V chemických oborech jako krystalografie popisují prostorová grupa a bodová grupa molekulární symetrie a symetrie krystalů. Tyto symetrie určují chemické a fyzikální vlastnosti těchto systémů a teorie grup v mnohých případech usnadňuje kvantově mechanickou analýzu těchto vlastností.^[52]^[53] Například teorie grup ukazuje že některé přechody mezi kvantovými stavy nemůžou nastat jenom z důvodu symetrií daných stavů.

Nejenom že jsou grupy užitečné na popis symetrií molekul, ale překvapivě dokážou i predikovat, jak molekuly můžou svoji symetrii změnit. Jahn-Tellerův jev je deformace molekuly s vysokou mírou symetrie, která nabude určitý stav, jehož symetrie je z množiny nižších symetrií, které jsou ale vzájemně příbuzné a souvisejí se symetrií původní.^[54]^[55]

Podobně, teorie grupa může být použita pro popis změn fyzikálních vlastností, které se dějou u fázového přechodu, například z kubické do tetrahedrální mřížky. Příklad je feroelektrický materiál, kde změna od paraelektrického k feroelektrickému stavu nastává u Curieho teplotě a je spojena se změnou od vysoké symetrie paraelektrického stavu k nižší symetrii feroelektrického stavu. Tuto změnu doprovádí měkký fononový mód, mód vibrační mřížky jehož frekvence se v přechodu blíží nule.^[56] Toto spontánní narušení symetrie má aplikace v částicové fyzice. Jeho výskyt je spojen s existencí tzv. Goldstonova bozonu.


Molekula Buckminsterfullerene má icosahedrální symmetrii.	Amoniak NH₃. Jeho grupa symetrie má řád 6 a je generována rotací o 120° a zrcadlením.	Molekula kubanu C₈H₈ vykazuje oktahedrální symmetrii.	Komplexní sloučenina Hexaaquacopper(II), Cu[(OH₂)₆]²⁺. Ve srovnání s úplně symetrickým tvarem, molekula je vertikálně odklolněna o asi 22% (Jahn-Tellerův jev).	Trojúhelníková grupa (2,3,7) je hyperbolická grupa, která má akci na tomto dláždění hyperbolické roviny.

Transformační grupy v geometrii

Geometrické vlastnosti, které akce grupy nemění, studuje geometrická teorie invariantů.^[57] Felix Klein ve slavné přednášce v Erlangen v roce [1872] definoval geometrii takto:

Geometrie je studium invariantů vůči grupě transformací.^[58]

Grupa symetrie nějaké geometrie je množina všech transformací, které zachovávájí příslušnou geometricou strukturu. Například pro Euklidovu geometrii je to takzvaná Eukleidova grupa Euc(n), která se skládá se všech translací, rotací a zrcadlení n-rozměrného Euklidova prostoru. Akce této grupy zachovává vzdálenosti bodů, a velikosti a úhly vektorů. Podobně pro projektivní geometrii pozůstává příslušná grupa symetrie ze všech kolineací, které zachovávají projektivní invarianty (převádí projektivní přímky na projektivní přímky a zachovávají dvoupoměr).

Tyto grupy symetrií nějaké geometrie se nazývají transformační grupy a pro běžné geometrie jsou to tzv. Lieovy grupy. Pokud je Liova grupa G transformační grupa nějakého geometrického prostoru X a G má na X tranzitivní akci, můžme definovat podgrupu H ⊆ G všech transformací, které zachovávají jistý bod x ∈ X. Prostor X pak můžme ztotožnit s prostorem rozkladových tříd

X\simeq G/H.

Tento popis geometrie se nazývá Kleinova geometrie.^[59] Speciální volba grup G,H vede na Euklidovskou, afinní a projektivní geometrii. Následuje tabulka, která popisuje některé geometrické struktury a jejich příslušnou transformační grupu G.

	Podkladový prostor	Transformační grupa G	Invarianty
Euklidova geometrie	Euklidův prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$	Eukleidova grupa Euc(n) $\scriptstyle \simeq O(n)\rtimes \mathbb {R} ^{n}$	Vzdálensti bodů, úhly vektorů
Sférická geometrie	Sféra Sⁿ	ortogonální grupa O(n+1)	Vzdálensti bodů, úhly vektorů
Konformní geometrie na sféře	Sféra Sⁿ	Lorentzova grupa n+1 dimenzionálního prostoru O(n+1,1)	Úhly vektorů
Projektivní geometrie	Projektivní prostor $\scriptstyle \mathbb {RP} ^{n}$	projektivní grupa PSL(n+1)	Projektivní přímky, dvoupoměr
Afinní geometrie	Afinní prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$	afinní grupa Aff(n) $\scriptstyle \simeq GL(n)\rtimes \mathbb {R} ^{n}$	Přímky, poměry obsahů geometrických útvarů, těžiště trojúhelníků.
Popis něterých geometrií pomocí jejich transformačních grup.

Zobecnění těchto idejí na širší třídu geometrií zahrnujících zakřivené prostory v Riemannově geometrii rozpracoval Élie Cartan.

Obecná linární grupa a teorie reprezentací

Maticové grupy jsou grupy, které se skládají z matic a grupová operace je maticové násobení. Obecná lineární grupa GL(n, R) se skládá ze všech regulárních reálnych čtvercových matic dimenze n.^[60] Její podgrupy se nazývají maticové grupy anebo lineární grupy. Dihedrální grupa v úvodu se dá reprezentovat jako maticová grupa (symetrie čtverce jako otočení nebo překlopení můžme reprezentovat maticí). Jiná důležitá maticová grupa je speciální ortogonální grupa SO(n). Popisuje všechny možné rotace v n rozměrném Euklidově prostoru.

Teorie reprezentací je jak aplikace grupových konceptů, tak i důležitý nástroj pro hlubší porozumění grup.^[61] ^[62] Tato teorie studuje grupy pomocí jejich akcí na vektorových prostorech. Reprezentace grupy G na vektorovém prostoru V je grupový homomorfizmus

ρ: G → GL(V)

grupy G a obecné lineární grupy GL(V). Tímto způsobem se grupová operace na G, která mohla být zadána abstraktním způsobem, převede na skládání lineárních zobrazení, resp. násobení matic, což umožňuje explicitní počty.^{[pozn 1]} Grupová akce na nějakém prostoru je tedy prostředkem jak ke zkoumání daného prostoru, tak i ke zkoumání grupy samotné. Teorie reprezentací dává do souvislosti teorii konečných grup, Lieových grup, algebraických grup a topologických grup, hlavně (lokálně) kompaktních grup.^[63]^[64]

Reprezentace Lieových grup mají aplikace v geometrii a studium reprezentací grup v prostorech nenulové charakteristiky má aplikace v teorii čísel.^[65] Některé partie teorie reprezentací jsou zobecněním klasické harmonické analýzy studující funkce prostřednictvím Fourierovy transformace.^[66]^[67]^[68]

Galoisova grupa

Galoisova grupa byla vynalezena pro popis řešení polynomických rovnic. Například řešení kvadratické rovnice x² + px + q = 0 jsou dány

x_{1,2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.

Podobné vzorce jsou známe pro kubické a kvartické rovnice, ale neexistují pro rovnice pátého stupně a vyšší.^[69]

Výměna "+" a "−" v tomto výrazu, t.j. permutace obou kořenů rovnice se dá chápat jako velmi jednoduchá grupová operace. Kořeny původní rovnice splňují x₁x₂=q, x₁+x₂=-p. Zároveň výměna kořenů x₁ a x₂ nemění jejich součet a součin. Pro obecný polynom se dá definovat Galoisova grupa jako množina všech takových permutací kořenů, že racionální výrazy kořenů (například x₁+x₂ nebo x₁x₂), které popisují nějaký racionální výraz koeficientů (například -p nebo q), se nemění (x₁+x₂=x₂+x₁ a pod).

Abstraktní vlastnosti Galoisovy grupy asociované s polynomem dávají kritérium, zda má polynom všechny své kořeny vyjádřitelné z koeficientů pomocí radikálů, t.j. pomocí sčítání, násobení a n-tých odmocnin. Je to právě když příslušná Galoisova grupa je řešitelná.^[70] Pro některé polynomy stupně 5 však Galoisova grupa pozůstává se všech permutací pěti kořenů.^[zdroj?] Permutační grupa S_5 však není jednoduchá a proto obecný vzorec pro rovnice pátého stupně, který by obsahoval pouze sčítání, násobení, dělení a odmocňování, nemůže existovat.^[zdroj?]

V moderní algebře se Galoisova grupa definuje obecněji pro tělesa jejich rozšíření. Pokud je E nadtěleso tělesa F, je příslušná Galoisova grupa Gal(E/F) definována jako množina všech automorfizmů tělesa E, které nemění prvky tělesa F. Základní věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům F ⊆ K ⊆ E. ^[zdroj?]

Grupy v algebraické topologii

V algebraické topologii se topologickým prostorům přirazují různé grupy, které reflektují jejich vlastnosti. Nejjednodušší je tzv. fundamentální grupa, kterou jako první uvažoval Camille Jordan^[71] a formálně definoval Henri Poincaré.^[72]

Prvky fundamentální grupy se dají reprezenrovat jako smyčky (uzavřené křivky) v daném prostoru. Dvě smyčky reprezentují stejný prvek fundamentální grupy, pokud se dají jedna na druhou převést spojitou deformací. Obrázek vpravo uazuje křivku v rovině bez bodu. Modrá křivka se považuje za triviální a reprezentuje neutrální prvek fundamentální grupy, neboť se dá spojitě stahnout do jednoho bodu. Naopak oranžová křivka se stahnout nedá, protože uvnitř ní je díra (chybějící bod). Fundamentální grupa roviny, z které odstraníme jeden bod, je nekonečná cyklická grupa generována oranžovou křivkou.

Podobně se definují vyšší homotopické grupy, které mohou odhalit díry různých dimenzí.^[73] Homotopické grupy jsou topologické a dokonce i homotopické invarianty, to znamená, že prostory, které jsou topologicky evivalentní (homeomorfní) a dokonce i prostory, které jsou homotopické resp. homotopicky ekvivalentní, mají izomorfní homotopické grupy. Spojitá zobrazení topologických prostorů indukují přirozeným způsobem homomorfizmy jejich homotopických grup. Homotopické grupy jsou tedy speciálním případem kovariantního funktora.^[74]

Výpočet vyšších homotopických grup je však často velmi složitý. Dodnes nejsou obecně známy ani homotopické grupy sfér, ačkoliv je známo, že jejich výpočet je algoritmicky možný.^[75] Proto se často používají jednodušší homologické a kohomologické grupy.^[76] Tyto grupy jsou taktéž homotopické invarianty. Homologie n té dimenze H_n je kovariantní funktor z kategorie topologických prostorů do kategorie grup. Podobně H_n je kontravariantní funktor.

Využitím homotopických a homologických grup je možné řešit širokou třídu topologických problému: například dokázat neexistence rozšiření spojitého zobrazení s podprostoru na celý prostor (například identita na sféře se nedá rozšířit na zobrazení celé koule na sféru),^[77], dokazovat různé věty o pevných bodech (například Browerova věta o pevném bodu)^[78], dokázat základní větu algebry,^[79] anebo ukázat, že otevřené množiny v Euklidovských prostorech jsou homeomorfní pouze pokud mají stejnou dimenzi (a tedy dimenze prostoru je topologický invariant).^[80]

Další využití

Existuje rada dalších teoretických i praktických aplikací teorie grup. Konečné grupy symetrií, jako například Mathiovy grupy se využívají v kódování a v korekci chyb přenášených dat (forward error correction, FEC), a také v CD přehrávačech.^[81] Diferenciální Galoisova teorie, charakterizuje funkce s danou antiderivací, která dává gruppově teoreticá kritéria pro vlastnosti řešení jistých diferenciálních rovnic.^[82] Grupy se podstatným způsobem využívají v algebraické geometrii a teorii čísel.^[83] Kryptografie kombinuje přístup abstraktní teorie grup s výpočetní teorií grup implementovanou pro konečné grupy.^[84]

Aplikace teorie grup nejsou omezeny na matematiku a z jejích konceptů také čerpají vědy jako chemie, fyzika a informatika.

Příklady grup

množina reálných čísel $\mathbb {R}$ s operací sčítání $(\mathbb {R} ,+)$ a její podgrupy racionálních $(\mathbb {Q} ,+)$ a celých čísel $(\mathbb {Z} ,+)$ jsou abelovské grupy
množina reálných čísel bez nuly s operací násobení $(\mathbb {R} ^{*},\cdot )$ a její podgrupa racionálních čísel bez nuly $(\mathbb {Q} ^{*},\cdot )$ jsou abelovské grupy
permutace na množině s operací skládání tvoří grupu, která není obecně (pro mohutnost nosné množiny vetší nebo rovnu 3) abelovská
grupa regulárních matic s operací maticového násobení je obecně neabelovská grupa
cyklické grupy ${\mathbb {Z} }_{n}$ s operací sčítání jsou abelovské grupy
množiny polynomů stupně menšího nebo rovného n se sčítáním jsou abelovské grupy
Prüferovy grupy $\mathbb {Z} _{p^{\infty }}$ , $p$ prvočíslo jsou abelovské grupy
grupy symetrií pravidelných n-úhelníků jsou obecně neabelovské grupy
Množina všech transformací Rubikovy kostky
Lieovy grupy jsou obecně neabelovské parametrické diferencovatelné grupy
vektorové prostory (s opomenutým skalárním násobením) jsou abelovské grupy

Odkazy

Poznámky

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Group (mathematics) na anglické Wikipedii.

↑ Tato věc se byla klíčová pro klasifikaci jednoduchých konečných grup, viz např. Aschbacher, Michael (2004), The Status of the Classification of the Finite Simple Groups (PDF), Notices of the American Mathematical Society 51 (7): 736–740.

Související články

Reference

↑ PLOTKIN, Boris Isaakovich. Universal algebra, algebraic logic, and databases. [s.l.]: Springer, 1994. 438 s. ISBN 9780792326656. S. 48. (anglicky)
↑ ROSICKÝ, Jiří. Algebra. 4 (1.dotisk). vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2005. 133 s. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1, s. 9.
↑ ^a ^b PROCHÁZKA, Ladislav, a kol. Algebra. Praha: Academia, 1990. 560 s. ISBN 80-200-0301-0. Kapitola III., s. 100.
↑ VALVODA, Václav; POLCAROVÁ, Milena; LUKÁČ, Pavel. Základy strukturní analýzy. 1.. vyd. Praha: Karolinum, 1992. 489 s. ISBN 80-7066-648-X.
↑ WUSSING, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. New York: Dover Publications, 2007. ISBN 978-0-486-45868-7. (anglicky)
↑ KLEINER, Israel. The evolution of group theory: a brief survey. Mathematics Magazine. 1986, s. 195–215. DOI 10.2307/2690312.
↑ SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics. [s.l.]: [s.n.], 1906. Dostupné online. (anglicky)
↑ The History Behind The Quadratic Formula
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Lodovico Ferrari, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
↑ GALOIS, Évariste. Manuscrits de Évariste Galois. Paris: Gauthier-Villars, 1908. Dostupné online. (francouzsky) (Galoisovo dílo bylo prvně publikováno Josephem Liouvillem v roce 1843)
↑ Kleiner, str. 202
↑ Wussig, §III.2
↑ LIE, Sophus. Gesammelte Abhandlungen, Band 1. New York: Johnson Reprint Corp., 1973. (německy) .
↑ Kleiner, str. 204
↑ Wussig, §I.3.4
↑ JORDAN, Camille. Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars, 1870. (francouzsky)
↑ VON DYCK, Walther. Gruppentheoretische Studien. Mathematische Annalen. 1882, s. 1–44. DOI 10.1007/BF01443322.
↑ CURTIS, Charles W. Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-2677-5. (anglicky) .
↑ MACKEY, George Whitelaw. The theory of unitary group representations. [s.l.]: University of Chicago Press, 1976. (anglicky)
↑ BOREL, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5. (anglicky)
↑ ASCHBACHER, Michael. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the American Mathematical Society. 2004, s. 736–740. Dostupné online.
↑ LANDIN, Joseph. An introduction to algebraic structures. [s.l.]: Courier Dover Publications, 1989. 247 s. ISBN 9780486659404. S. 68, definice 8. (anglicky)
↑ LANG, Serge. Undergraduate Algebra. Berlin, New York: Springer, 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. Kapitola §II.1, s. 22. (anglicky)
↑ MAC LANE, S.; BIRKHOFF, G. Algebra. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1974. Kapitola III (grupy), s. 106, Veta 4,5. (slovensky
↑ JACOBSON, Nathan. Basic algebra. [s.l.]: American Mathematical Society, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1. S. 41. (anglicky)
↑ The MacTutor History of Mathematics archive, Sun Zi
↑ HUNGERFORD, Thomas W. Algebra. [s.l.]: Springer, 1996. 502 s. ISBN 9780387905181. Kapitola 2, věta 2.2, s. 76. (anglicky)
↑ Wolf Holzmann, Classification of Finitely Generated Abelian Groups (online)
↑ LA HARPE, Pierre. Topics in geometric group theory. [s.l.]: AMS, 2000. ISBN 9780226317212. S. 46. (anglicky)
↑ SUZUKI, Michio. On the lattice of subgroups of finite groups. Transactions of the American Mathematical Society. 1951, s. 345–371. DOI 10.2307/1990375. JSTOR 1990375.
↑ LEDERMANN, Walter. Introduction to group theory. New York: Barnes and Noble, 1973. Kapitola II.12, s. 39. (anglicky)
↑ MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 1997. Dostupné online. ISBN 9788071841869. Kapitola Grupa. (anglicky)
↑ Lang 2005, kap. §II.3, s. 34
↑ Lang 2005, II.4, s. 41
↑ LANG, Serge. Algebra. New York: Springer, 2002. ISBN 978-0-387-95385-4. Kapitola §I.2, s. 12. (anglicky)
↑ Lang 2005, §II.4, s. 45
↑ Lang 2005, §II.4, p. 45
↑ Lang 2005, §II.4, s. 46. Cor. 4.6.
↑ BOGOPOLʹSKIJ, Oleg Vladimirovič. Introduction to group theory. [s.l.]: European Mathematical Society, 2008. 177 s. ISBN 9783037190418. Kapitola 5, s. 58. (anglicky)
↑ Bogopolʹskij, s. 59
↑ Lang, 2002, §I.2, p. 9)
↑ Lang 2005, §II.4, s. 49
↑ EDWARDS, Harold M. Galois theory. [s.l.]: Springer, 1984. 152 s. ISBN 9780387909806. S. 89, (Theorem). (anglicky)
↑ Lang 2005, Kap. VII
↑ WAN, Zhe-Xian. Lectures on finite fields and galois rings. [s.l.]: World Scientific, 2003. 342 s. ISBN 9789812385703. S. 103. (anglicky)
↑ Wan, str. 115, Theorem 6.3
↑ WEYL, Hermann. Symmetry. [s.l.]: Princeton University Press, 1983. 342 s. ISBN 978-0-691-02374-8. S. 103. (anglicky)
↑ FRUCHT, R. Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group]. Compositio Mathematica. 1939, s. 239–50. Dostupné online. .
↑ Branko Grünbaum , [http://www.ams.org/notices/200606/comm-grunbaum.pdf What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra?], notices of AMS, vol. 53, n. 6
↑ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28.
↑ David Austin, Penrose Tiles Talk Across Miles, Math Samplings (AMS)
↑ CONWAY, John Horton; DELGADO FRIEDRICHS, Olaf; HUSON, Daniel H.; THURSTON, William P. On three-dimensional space groups. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 2001, s. 475–507. arXiv math.MG/9911185.
↑ BISHOP, avid H. L. Group theory and chemistry. New York: Dover Publications, 1993. ISBN 978-0-486-67355-4. (anglicky)
↑ BERSUKER, Isaac. The Jahn-Teller Effect. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-82212-2. S. 2. (anglicky)
↑ JAHN, H.; TELLER, E. Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934–1990). 1937, s. 220–235. DOI 10.1098/rspa.1937.0142.
↑ DOVE, Martin. Structure and Dynamics: an atomic view of materials. [s.l.]: Oxford University Press, 2003. ISBN 0-19-850678-3. S. 265. (anglicky)
↑ MUMFORD, David; FOGARTY, J.; KIRWAN, F. Geometric invariant theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. (3). ISBN 978-3-540-56963-3. (anglicky)
↑ GALARZA, A.I.R.; SEADE, J. Introduction to Classical Geometries. [s.l.]: Birkhäuser Basel, 2007. ISBN 978-3764375171. S. 16. (anglicky) , dostupné online
↑ SHARPE, R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. [s.l.]: Springer, 1997. ISBN 978-0387947327. (anglicky) Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí Lieových grup a naopak, studium Lieových grup vedlo k popisu nových geometrických struktur.
↑ REES, Elmer G. Notes on geometry. [s.l.]: Springer, 1988. ISBN 9783540120537. S. 3. (anglicky)
↑ FULTON, William.; HARRIS, Joe. Representation theory. A first course. New York: Springer, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8. (anglicky)
↑ SERRE, Jean-Pierre. Linear representations of finite groups. New York: Springer, 1977. ISBN 978-0-387-90190-9. (anglicky)
↑ Fulton-Harris
↑ RUDIN, Walter; HARRIS, Joe. Fourier Analysis on Groups. New York: Wiley Classics, Wiley-Blackwell, 1990. ISBN 0-471-52364-X. (anglicky)
↑ GELBART, Stephen. An Elementary Introduction to the Langlands Program. Bulletin of the American Mathematical Society. 1984, s. 177–219. Dostupné online. DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
↑ Anthony W. Knapp, Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands, Part II, Notices of the AMS, vol 43 (5), May 1996, 537--549
↑ James Arthur, Harmonic Analysis and Group Representations, Notices of the AMS, vol 47 (1), 26--34
↑ VARADARAJAN, V. S. An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. New York: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521663625. (anglicky)
↑ Lang 2002, Kapitola VI (konkrétní příklady například na str. 273)
↑ Lang, 2002, str. 292 (Theorem VI.7.2)
↑ The MacTutor History of Mathematics archive, Marie Ennemond Camille Jordan
↑ POINCARÉ, Henri. Analysis Situs. Journal de l'École Polytechnique ser 2. 1895, s. 1–123. .
↑ HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.]: Cambridge University Press, 2001. 556 s. Dostupné online. ISBN 978-0521795401. S. 340. (anglicky)
↑ SPANIER, Edwin Henry. Algebraic topology. [s.l.]: Springer, 1994. ISBN 9780387944265. S. 371. (anglicky)
↑ BROWN, Edgar H. Finite Computability of Postnikov Complexes. The Annals of Mathematics. 1957, s. 1–20. Dostupné online.
↑ Hatcher, kap. 2,3
↑ HU, Sze-Tsen. Homotopy theory. [s.l.]: Academic Press, 1959. 347 s. ISBN 9780123584502. S. 1-4. (anglicky)
↑ Hu, str. 4
↑ Hatcher, str. 31
↑ Hatcher, str. 126
↑ WELSH, Dominic. Codes and cryptography. Oxford: Clarendon Press, 1989. ISBN 978-0-19-853287-3. (anglicky)
↑ KUGA, Michio. Galois' dream: group theory and differential equations. Boston: Birkhäuser Boston, 1993. ISBN 978-0-8176-3688-3. S. 105-113. (anglicky)
↑ NEUKIRCH, Jürgen. Algebraic Number Theory. Berlin: Springer, 1999. ISBN 978-3-540-65399-8. Kapitola §I.12, I.13. (anglicky)
↑ SERESS, Ákos. An introduction to computational group theory. Notices of the American Mathematical Society. 1997, s. 671–679. Dostupné online. .

Literatura

DRÁPAL, Aleš. Teorie grup (základní aspekty). Praha: Karolinum, 2000. 207 s. ISBN 80-246-0162-1.

Externí odkazy

Šablona:Link FA

[63] Tato věc se byla klíčová pro klasifikaci jednoduchých konečných grup, viz např. Aschbacher, Michael (2004), The Status of the Classification of the Finite Simple Groups (PDF), Notices of the American Mathematical Society 51 (7): 736–740.

[1] PLOTKIN, Boris Isaakovich. Universal algebra, algebraic logic, and databases. [s.l.]: Springer, 1994. 438 s. ISBN 9780792326656. S. 48. (anglicky)

[Rosicky_s9-2] ROSICKÝ, Jiří. Algebra. 4 (1.dotisk). vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2005. 133 s. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1, s. 9.

[Prochazka_s100-3] PROCHÁZKA, Ladislav, a kol. Algebra. Praha: Academia, 1990. 560 s. ISBN 80-200-0301-0. Kapitola III., s. 100.

[Valvoda-4] VALVODA, Václav; POLCAROVÁ, Milena; LUKÁČ, Pavel. Základy strukturní analýzy. 1.. vyd. Praha: Karolinum, 1992. 489 s. ISBN 80-7066-648-X.

[5] WUSSING, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. New York: Dover Publications, 2007. ISBN 978-0-486-45868-7. (anglicky)

[6] KLEINER, Israel. The evolution of group theory: a brief survey. Mathematics Magazine. 1986, s. 195–215. DOI 10.2307/2690312.

[7] SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics. [s.l.]: [s.n.], 1906. Dostupné online. (anglicky)

[8] The History Behind The Quadratic Formula

[9] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Lodovico Ferrari, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[10] GALOIS, Évariste. Manuscrits de Évariste Galois. Paris: Gauthier-Villars, 1908. Dostupné online. (francouzsky) (Galoisovo dílo bylo prvně publikováno Josephem Liouvillem v roce 1843)

[11] Kleiner, str. 202

[12] Wussig, §III.2

[13] LIE, Sophus. Gesammelte Abhandlungen, Band 1. New York: Johnson Reprint Corp., 1973. (německy) .

[14] Kleiner, str. 204

[15] Wussig, §I.3.4

[16] JORDAN, Camille. Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars, 1870. (francouzsky)

[17] VON DYCK, Walther. Gruppentheoretische Studien. Mathematische Annalen. 1882, s. 1–44. DOI 10.1007/BF01443322.

[18] CURTIS, Charles W. Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-2677-5. (anglicky) .

[19] MACKEY, George Whitelaw. The theory of unitary group representations. [s.l.]: University of Chicago Press, 1976. (anglicky)

[20] BOREL, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5. (anglicky)

[21] ASCHBACHER, Michael. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the American Mathematical Society. 2004, s. 736–740. Dostupné online.

[22] LANDIN, Joseph. An introduction to algebraic structures. [s.l.]: Courier Dover Publications, 1989. 247 s. ISBN 9780486659404. S. 68, definice 8. (anglicky)

[23] LANG, Serge. Undergraduate Algebra. Berlin, New York: Springer, 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. Kapitola §II.1, s. 22. (anglicky)

[24] MAC LANE, S.; BIRKHOFF, G. Algebra. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1974. Kapitola III (grupy), s. 106, Veta 4,5. (slovensky

[25] JACOBSON, Nathan. Basic algebra. [s.l.]: American Mathematical Society, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1. S. 41. (anglicky)

[26] The MacTutor History of Mathematics archive, Sun Zi

[27] HUNGERFORD, Thomas W. Algebra. [s.l.]: Springer, 1996. 502 s. ISBN 9780387905181. Kapitola 2, věta 2.2, s. 76. (anglicky)

[28] Wolf Holzmann, Classification of Finitely Generated Abelian Groups (online)

[29] LA HARPE, Pierre. Topics in geometric group theory. [s.l.]: AMS, 2000. ISBN 9780226317212. S. 46. (anglicky)

[30] SUZUKI, Michio. On the lattice of subgroups of finite groups. Transactions of the American Mathematical Society. 1951, s. 345–371. DOI 10.2307/1990375. JSTOR 1990375.

[31] LEDERMANN, Walter. Introduction to group theory. New York: Barnes and Noble, 1973. Kapitola II.12, s. 39. (anglicky)

[32] MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 1997. Dostupné online. ISBN 9788071841869. Kapitola Grupa. (anglicky)

[33] Lang 2005, kap. §II.3, s. 34

[34] Lang 2005, II.4, s. 41

[35] LANG, Serge. Algebra. New York: Springer, 2002. ISBN 978-0-387-95385-4. Kapitola §I.2, s. 12. (anglicky)

[36] Lang 2005, §II.4, s. 45

[37] Lang 2005, §II.4, p. 45

[38] Lang 2005, §II.4, s. 46. Cor. 4.6.

[39] BOGOPOLʹSKIJ, Oleg Vladimirovič. Introduction to group theory. [s.l.]: European Mathematical Society, 2008. 177 s. ISBN 9783037190418. Kapitola 5, s. 58. (anglicky)

[40] Bogopolʹskij, s. 59

[41] Lang, 2002, §I.2, p. 9)

[42] Lang 2005, §II.4, s. 49

[43] EDWARDS, Harold M. Galois theory. [s.l.]: Springer, 1984. 152 s. ISBN 9780387909806. S. 89, (Theorem). (anglicky)

[44] Lang 2005, Kap. VII

[45] WAN, Zhe-Xian. Lectures on finite fields and galois rings. [s.l.]: World Scientific, 2003. 342 s. ISBN 9789812385703. S. 103. (anglicky)

[46] Wan, str. 115, Theorem 6.3

[47] WEYL, Hermann. Symmetry. [s.l.]: Princeton University Press, 1983. 342 s. ISBN 978-0-691-02374-8. S. 103. (anglicky)

[48] FRUCHT, R. Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group]. Compositio Mathematica. 1939, s. 239–50. Dostupné online. .

[49] Branko Grünbaum , [http://www.ams.org/notices/200606/comm-grunbaum.pdf What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra?], notices of AMS, vol. 53, n. 6

[50] E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28.

[51] David Austin, Penrose Tiles Talk Across Miles, Math Samplings (AMS)

[52] CONWAY, John Horton; DELGADO FRIEDRICHS, Olaf; HUSON, Daniel H.; THURSTON, William P. On three-dimensional space groups. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 2001, s. 475–507. arXiv math.MG/9911185.

[53] BISHOP, avid H. L. Group theory and chemistry. New York: Dover Publications, 1993. ISBN 978-0-486-67355-4. (anglicky)

[Bersuker-54] BERSUKER, Isaac. The Jahn-Teller Effect. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-82212-2. S. 2. (anglicky)

[55] JAHN, H.; TELLER, E. Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934–1990). 1937, s. 220–235. DOI 10.1098/rspa.1937.0142.

[56] DOVE, Martin. Structure and Dynamics: an atomic view of materials. [s.l.]: Oxford University Press, 2003. ISBN 0-19-850678-3. S. 265. (anglicky)

[57] MUMFORD, David; FOGARTY, J.; KIRWAN, F. Geometric invariant theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. (3). ISBN 978-3-540-56963-3. (anglicky)

[58] GALARZA, A.I.R.; SEADE, J. Introduction to Classical Geometries. [s.l.]: Birkhäuser Basel, 2007. ISBN 978-3764375171. S. 16. (anglicky) , dostupné online

[sharpe-59] SHARPE, R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. [s.l.]: Springer, 1997. ISBN 978-0387947327. (anglicky) Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí Lieových grup a naopak, studium Lieových grup vedlo k popisu nových geometrických struktur.

[60] REES, Elmer G. Notes on geometry. [s.l.]: Springer, 1988. ISBN 9783540120537. S. 3. (anglicky)

[61] FULTON, William.; HARRIS, Joe. Representation theory. A first course. New York: Springer, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8. (anglicky)

[62] SERRE, Jean-Pierre. Linear representations of finite groups. New York: Springer, 1977. ISBN 978-0-387-90190-9. (anglicky)

[64] Fulton-Harris

[65] RUDIN, Walter; HARRIS, Joe. Fourier Analysis on Groups. New York: Wiley Classics, Wiley-Blackwell, 1990. ISBN 0-471-52364-X. (anglicky)

[66] GELBART, Stephen. An Elementary Introduction to the Langlands Program. Bulletin of the American Mathematical Society. 1984, s. 177–219. Dostupné online. DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.

[67] Anthony W. Knapp, Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands, Part II, Notices of the AMS, vol 43 (5), May 1996, 537--549

[68] James Arthur, Harmonic Analysis and Group Representations, Notices of the AMS, vol 47 (1), 26--34

[69] VARADARAJAN, V. S. An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. New York: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521663625. (anglicky)

[70] Lang 2002, Kapitola VI (konkrétní příklady například na str. 273)

[71] Lang, 2002, str. 292 (Theorem VI.7.2)

[72] The MacTutor History of Mathematics archive, Marie Ennemond Camille Jordan

[73] POINCARÉ, Henri. Analysis Situs. Journal de l'École Polytechnique ser 2. 1895, s. 1–123. .

[74] HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.]: Cambridge University Press, 2001. 556 s. Dostupné online. ISBN 978-0521795401. S. 340. (anglicky)

[75] SPANIER, Edwin Henry. Algebraic topology. [s.l.]: Springer, 1994. ISBN 9780387944265. S. 371. (anglicky)

[76] BROWN, Edgar H. Finite Computability of Postnikov Complexes. The Annals of Mathematics. 1957, s. 1–20. Dostupné online.

[77] Hatcher, kap. 2,3

[78] HU, Sze-Tsen. Homotopy theory. [s.l.]: Academic Press, 1959. 347 s. ISBN 9780123584502. S. 1-4. (anglicky)

[79] Hu, str. 4

[80] Hatcher, str. 31

[81] Hatcher, str. 126

[82] WELSH, Dominic. Codes and cryptography. Oxford: Clarendon Press, 1989. ISBN 978-0-19-853287-3. (anglicky)

[83] KUGA, Michio. Galois' dream: group theory and differential equations. Boston: Birkhäuser Boston, 1993. ISBN 978-0-8176-3688-3. S. 105-113. (anglicky)

[84] NEUKIRCH, Jürgen. Algebraic Number Theory. Berlin: Springer, 1999. ISBN 978-3-540-65399-8. Kapitola §I.12, I.13. (anglicky)

[85] SERESS, Ákos. An introduction to computational group theory. Notices of the American Mathematical Society. 1997, s. 671–679. Dostupné online. .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[pozn 1]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]