Riemannova geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Riemannova (riemannovská) geometrie je oblast diferenciální geometrie, která se zabývá studiem Riemannových prostorů. Riemannův prostor je hladká varieta, na které jsme schopni měřit velikosti a úhly tečných vektorů, měřit délky křivek a paralelně přenášet vektory.

Riemannova geometrie vznikla v půlce 19. století ve snaze zobecnit a klasifikovat nové neeukleidovské geometrie jako hyperbolická a sférická geometrie. Tyto geometrie se v Riemannově geometrii vyskytují, jako plochy s nenulovou konstantní křivostí, přičemž Eukleidovská geometrie se dá modelovat jako Riemannova geometrie s nulovou křivostí.

Pseudo-Riemannova geometrie[editovat | editovat zdroj]

O Riemannově geometrii se obvykle hovoří pouze v případě, že všechny nenulové tečné vektory mají kladnou velikost. Jinými slovy, metrický tenzor je pozitivně definitní. Je-li indefinitní, což je příklad prostoročasu v obecné teorii relativity, pak se hovoří o pseudo-Riemannově (pseudoriemannovské) geometrii. Podkladový prostor se pak nazývá pseudo-Riemannova varieta. Pseudo-Riemannova geometrie našla uplatnění především v Einsteinově obecné teorii relativity, v které slouží jako model časoprostoru. Rovnice obecné teorie relativity pak dávají do souvislosti hmotu a zakřivení časoprostoru, přičemž se předpokládá, že předměty se pohybují po geodetikách.