Riemannův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Riemannovým (riemannovským) prostorem je v matematice a fyzice označována hladká varieta, na které je dána metrika. Je to tedy prostor, v kterém je možné měřit vzdálenosti bodů a velikosti a úhly vektorů.

Tento článek z oblasti matematiky potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte. Inspiraci k vylepšení lze hledat v radách na stránce Vzhled a styl, případně na diskusní stránce článku.

Riemannovým prostorem je nazýván prostor s $\ n$ souřadnicemi $\ x_i$ , v němž je vzdálenost mezi dvěma sousedními body určena vztahem

$\mathrm{d}s^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(x)\mathrm{d}x_i\mathrm{d}x_j$ ,

kde $\ g_{ij}(x)$ jsou funkce $\ x_1, x_2, ..., x_n$ .

Metrika zadaná uvedeným vztahem se označuje jako riemannovská metrika, je-li pozitivně definitní. V opačném případě se hovoří o pseudoriemannovské metrice.

[editovat] Příklad

Např. v euklidovské geometrii je (v kartézských souřadnicích) vzdálenost mezi dvěma body roviny určena vztahem ve tvaru

$\ \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2$

Zobecnění pro libovolnou 2-rozměrnou plochu má tvar

$\ \mathrm{d}s^2 = E\mathrm{d}x^2 + 2F\mathrm{d}x\mathrm{d}y + G\mathrm{d}y^2$ ,

kde $\ E, F, G$ jsou funkce závislé na $\ x$ a $\ y$ . Prostřednictvím těchto veličin jsou určeny některé vlastnosti plochy, např. její křivost.

Podobným postupem došel Riemann při studiu metrických prostorů libovolné dimenze k Riemannovu prostoru.

[editovat] Vlastnosti

Funkce $\ g_{ij}$ tvoří tzv. metrický tenzor.
Riemannovy prostory mohou být zakřivené, přičemž struktura zakřivení je obsažena v Riemannově tenzoru křivosti.
Riemannův prostor je metrickým prostorem.