Metrický tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Metrická forma[editovat | editovat zdroj]

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem g_{ij} dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem:

\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\,,

kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že x_i představují kartézské souřadnice v n-rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát

\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x_i\,\mathrm{d}x^i

Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice \xi_j, tzn. \mathrm{d}x_i = \frac{\part x_i}{\part \xi^j}\mathrm{d}\xi^j, lze metrickou formu přepsat na tvar

\mathrm{d}s^2 = \frac{\part x_i}{\part \xi^j}\frac{\part x_i}{\part \xi^k}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

g_{ij} = \frac{\part x_k}{\part\xi^i}\frac{\part x_k}{\part\xi^j} = \frac{\part x_1}{\part\xi^i}\frac{\part x_1}{\part\xi^j} + \frac{\part x_2}{\part\xi^i}\frac{\part x_2}{\part\xi^j} + \cdots + \frac{\part x_n}{\part\xi^i}\frac{\part x_n}{\part\xi^j},

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

\mathrm{d}s^2 = g_{jk}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k

Např. délku křivky spočteme jako:

s = \int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}} \mathrm{d}t},\,

kde t je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor g_{ij} bývá také vyjadřován jako

g_{ij} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j),

kde \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát

g^{ij} = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}^j) = \frac{\part\xi^i}{\part x_k}\frac{\part\xi^j}{\part x_k}

a pro smíšené složky

g_j^i = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}_j) = \frac{\part\xi^i}{\part x_k}\frac{\part x_k}{\part\xi^j} = \delta_j^i,

kde \delta_j^i je Kroneckerovo delta a \mathbf{e}^i, \mathbf{e}_i jsou prvky sdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností[editovat | editovat zdroj]

Velikost vektoru je tedy dána vztahem

V=\sqrt{g_{ij}V^i V^j}.\,

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem

\cos \vartheta = \frac{g_{ij}V^i U^j}{\sqrt{g_{ij}V^i V^j}\sqrt{g_{ij}U^i U^j}},

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem[editovat | editovat zdroj]

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k,

kde \delta^i_k je kroneckerovo delta. Složky g_{ij} známe, kdežto složky g^{ij} jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu {T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_n} zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem:

g^{i_{m+1} i_k}{T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_{k-1} i_k i_{k+1}\dots i_n} = {T^{i_1\dots i_m i_{m+1}}}_{i_1\dots i_{k-1} i_{k+1}\dots i_n},
g_{i_{n+1} i_k} {T^{i_1\dots i_{k-1} i_k i_{k+1} \dots i_m}}_{i_1\dots i_n}  = 
{T^{i_1\dots i_{k-1} i_{k+1} \dots i_m}}_{i_1\dots i_n i_{n+1}}.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Metrický tenzor je symetrický, tzn.

g_{ij} = g_{ji}
g^{ij} = g^{ji}

Související články[editovat | editovat zdroj]