Topologický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Topologický prostor je matematická struktura, která umožňuje formalizovat a zobecnit takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Vyskytují se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky. Topologickými prostory se zabývá topologie.

[editovat] Definice

Topologickým prostorem nazveme množinu $X$ společně s kolekcí $τ$ podmnožin $X$ , splňující následující axiomy:

$\emptyset \in \tau$ , $X \in \tau$
sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z $τ$ leží v $τ$
průnik konečného počtu množin z $τ$ leží v $τ$

Kolekci $τ$ říkáme topologie na $X$ . Množiny v $τ$ pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňkům v $X$ uzavřené množiny.

Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako $(X,τ)$ .

[editovat] Homeomorfní topologické prostory

Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).

[editovat] Příklady topologických prostorů

Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.
Nejjednodušším příkladem topologie je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou $X$ a prázdnou množinou $\emptyset$ , tzn. $\tau = \{\emptyset,X\}$ .