Polynom

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

$p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n$,

kde $a_n \neq 0$. Čísla $a_0, a_1, ..., a_n$ se nazývají koeficienty polynomu.

Funkci $P$ dvou proměnných $x \in R, y \in R$ označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla $n, m$ a konstanty $a_{ij}$ takové, že platí

$P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j$.

Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3×) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se někdy definuje deg p(x) = –1.

Příklady polynomů

• $p(x) = 0$ je tzv. nulový polynom, tedy polynom, který má všechny koeficienty nulové, tzn. $a_i = 0, i = 0, 1, 2, ...$
• $p(x) = 4$ je polynom nultého stupně (konstanta)
• $p(x) = 8 x + 3$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
• $p(x) = 3 x^2 + 2 x - 2$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
• $p(x) = 3 x^3 - 8 x$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy

Mějme polynom $n$-tého stupně $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_n \neq 0$, a polynom $m$-tého stupně $g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i, b_m \neq 0$.

• Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. $f(x) = g(x)$ pro všechna $x$ pouze tehdy, je-li $n = m$ a pro každé $i = 1, 2, ..., n$ platí $a_i = b_i$.

• Sečtením polynomů $f(x)$ a $g(x)$ získáme polynom

$h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^r (a_i + b_i) x^i$,

kde $r = max(n,m)$ je stupeň výsledného polynomu.

• Součin polynomů $f(x), g(x)$ je polynom $f(x) \cdot g(x)$, který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je $s = n + m$.

• Platí tedy, že $\sum_{i=0}^n a_i x^i \cdot \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{n+m} (\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}) x^i$.

• Je-li kde $n \geq m$, pak existují právě dva polynomy $r(x), s(x)$ takové, že platí

$f(x) = g(x) r(x) + s(x)$

kde $s(x)$ má stupeň menší než $m$ nebo je nulovým polynomem. Pokud $s(x)$ je nulový polynom, pak říkáme, že polynom $f(x)$ je dělitelný polynomem $g(x)$.

Příklady

• Mějme polynomy $f(x) = x^4 - x$, $g(x) = x^3 - 2 x + 1$

$f(x) + g(x) = x^4 - x + x^3 - 2x + 1 = x^4 + x^3 - 3 x + 1$

$f(x) \cdot g(x) = (x^4 - x)(x^3 - 2x + 1) = x^7 - 2x^5 + x^4 - x^4 + 2x^2 - x = x^7 - 2x^5 + 2x^2 - x$

• Pokusme se zjistit, zda je polynom $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1$ dělitelný polynomem $g(x) = x^2 + 1$.

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu $f(x)$ členem s nejvyšší mocninou polynomu $g(x)$, tzn. $\frac{x^4}{x^2} = x^2$. První člen polynomu $r(x)$ tedy bude $x^2$. Tímto členem vynásobíme polynom $g(x)$ (dostaneme tedy $x^4 + x^2$) a výsledek odečteme od polynomu $f(x)$, čímž získáme nový polynom $f_1(x) = f(x) - (x^4 + x^2) = - 4x^2 + 2x + 1$.

Nejvyšší člen polynomu $f_1(x)$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu $g(x)$, tzn. $\frac{-4 x^2}{x^2} = -4$, tzn. další člen polynomu $r(x)$ je $-4$. Tímto členem opět násobíme polynom $g(x)$, tzn. získáme $-4 x^2 - 4$, a výsledek odečteme od polynomu $f_1(x)$. Získáme nový polynom $f_2(x) = 2 x + 5$.

Stupeň polynomu $f_2(x)$ je však nižší než stupeň polynomu $g(x)$, proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom $f_2(x)$ tedy odpovídá polynomu $s(x)$.

Výsledek tedy je

$f(x) = x^4 - 3 x^2 + 2 x + 1 = g(x) r(x) + s(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 4) + (2 x + 5)$,

tzn. $r(x) = x^2 - 4$ a $s(x) = 2x + 5$.

Vzhledem k tomu, že $s(x) \neq 0$, není polynom $f(x)$ dělitelný polynomem $g(x)$.

Kořeny polynomu

Číslo $\alpha$ se nazývá kořen polynomu $p(x)$, jestliže platí

$p(\alpha) = 0$

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Derivace polynomu

• Derivací polynomu $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ rozumíme polynom tvaru $\sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1}$. Derivaci značíme $f$ '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

• n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

$f\ ^{(1)}=f$ '

$f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})$ '

Vlastnosti

• Je-li $\alpha$ kořenem polynomu $p(x)$ stupně $n \geq 1$, pak

$p(x) = (x - \alpha) g(x)$,

kde $g(x)$ je polynom stupně $n - 1$.

• Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze $k$ kořenů polynomu $n$-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom $p(x)$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu $g(x)$ stupně $n-k$, tzn.

$p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x)$,

kde $\alpha_i$ představují známé kořeny polynomu $p(x)$. Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu $p(x)$ stačí hledat pouze kořeny polynomu $g(x)$, tzn. řešit rovnici $g(x) = 0$, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu $p(x)$. Polynom $g(x)$ získáme z polynomu $p(x)$ jeho vydělením výrazem $(x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k)$.

• Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom $p(x)$ stupně $n \geq 1$ lze zapsat ve tvaru

$p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$,

kde $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ jsou kořeny polynomu $p(x)$. Členy $(x - \alpha_i)$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

• Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

$f(x) = a_n (x - \alpha_1)^{k_1} \cdot (x -\alpha_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x - \alpha_n)^{k_n}$,

kde $k_1+k_2+...+k_n=n$, přičemž $k_i$ jsou přirozená čísla. Čísla $k_i$ určují násobnost kořene $\alpha_i$, tzn. kolikrát se kořen $\alpha_i$ vyskytuje v řešení polynomu.

• Pokud má polynom stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty $k$-násobný kořen $\alpha = a + i b$, má také $k$-násobný kořen $\overline{\alpha} = a - i b$. To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem $(x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - 2 x a + (a^2 + b^2)$.

• Podle předchozího tvrzení lze každý polynom $p(x)$ stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla $a_n$, reálných kořenových činitelů $x - \alpha_i$ a reálných trojčlenů $x^2 + p_i x + q_i$, splňujících podmínku $p_i^2 - 4 q_i < 0$, tzn.

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k)(x^2 + p_1 x + q_1)(x^2 + p_2 x + q_2) \cdots (x^2 + p_m x + q_m)$,

kde $\alpha_1, ..., \alpha_k, p_1, ..., p_m, q_1, ..., q_m$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka $k + 2 m = n$.

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

$p(x) = a_n (x - \alpha_1)^{u_1} \cdots (x - \alpha_s)^{u_s}(x^2 + p_1 x + q_1)^{v_1} \cdots (x^2 + p_r x + q_r)^{v_r}$,

kde $u_1 + u_2 + ... + u_s = k$ určuje počet reálných kořenů polynomu a $v_1 + v_2 + ... + v_r = m$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

• Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

• Pokud jsou $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ kořeny polynomu $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

$\alpha_1 + \alpha_2 + ...+ \alpha_n = -a_{n-1}$

$\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + ... + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + ...+ \alpha_2 \alpha_n + + \alpha_{n-1} \alpha_n = a_{n-2}$

…

$\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0$

• Zapišme polynom $p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}$ ve tvaru

$p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0$

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu $p(x)$ v bodě $x$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

$c_n = a_n$,

$c_{n-1} = c_n x + a_{n-1}$,

$c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2}$,

…

$c_0 = c_1 x + a_0$,

pak poslední číslo $c_0$ představuje právě hodnotu polynomu $p(x)$ v bodě $x$.

• Polynomy tvoří vektorový prostor.

Související články

• Monom
• Dvojčlen
• Základní věta algebry
• Algebraická rovnice
• Reciproký polynom
• Charakteristický polynom
• Hornerovo schéma