Diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Diferenciální rovnice je matematická rovnice, ve které jako proměnné vystupují derivace funkcí. Diferenciální rovnice stojí v základech fyziky a jejich aplikace najdeme ve většině oblastí lidského vědění.

Matematická teorie diferenciálních rovnic se zabývá existencí řešení, jednoznačností (čili zda je řešení jen jedno), závislostí řešení na počátečních a okrajových podmínkách.

Ve fyzice a dalších aplikacích je zajímavé zejména získání analytického řešení, tedy funkce u(t), která rovnici řeší. Pokud taková funkce nejde analyticky vyjádřit, vstupuje do hry numerické řešení diferenciálních rovnic.

Typy diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:

Pokud je dáno m diferenciálních rovnic pro n neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.


Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.

Řešení rovnice[editovat | editovat zdroj]

Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.

Řešení diferenciálních rovnic dělíme na
  • obecné - Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární.
  • partikulární (částečné) - Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení.
  • singulární (výjimečné) - Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.

Partikulární řešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu mezi teplotou čaje T a teplotou v místnosti T_0 (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme k. Máme tedy diferenciální rovnici

\frac{dT}{dt} = k(T_0-T)

a chceme najít všechny funkce T(t) (závislost teploty na čase), které ji splňují.

Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu

Řešení příkladu[editovat | editovat zdroj]

dT lze chápat jako diferenciál, tedy funkci dvou proměnných dT(t,dt) = dtT'(t)\,\!. Zlomek \frac{dT}{dt}\,\! v tomto významu se rovná derivaci T podle t (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:

dT = -k(T-T_0)dt \,\!
\frac{dT}{T-T_0} = -kdt \,\!

Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich neurčité integrály (rozdíl obou integračních konstant označme c\,\!).

\int\frac{1}{T-T_0}dT = c \,-\,\int kdt \,\!

Vypočtením těchto integrálů obdržíme

\ln |T-T_0| = c - kt \,\!

Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciály. Pro názornost předpokládejme T>T_0:

e^{\ln(T-T_0)} = e^{c - kt} \,\!

To lze upravit na

 T  = T_0 \,+\, e^c \,\, e^{- kt} \,\!

Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty c odpovídají různým funkcím T(t), které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Kategorie Differential equations ve Wikimedia Commons

  • MAW - matematické výpočty online umožňuje online řešení diferenciálních rovnic, včetně zobrazení postupu (separovatelné DR, lineární DR prvního a druhého řádu).