Počáteční úloha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(Přesměrováno z Počáteční podmínky)
Skočit na: Navigace, Hledání

Počáteční úloha (také Cauchyho úloha nebo problém počáteční hodnoty) je v matematice v oboru diferenciálních rovnic hledání takového řešení obyčejné diferenciální rovnice, které vyhovuje počáteční podmínce, což znamená, že neznámá funkce a (případně) její derivace mají v daném bodě svého definičního oboru zadané hodnoty. Ve fyzice a dalších vědách se modelováním systému často myslí řešení počáteční úlohy; v tomto kontextu je diferenciální rovnice rovnicí vývoje udávající, jak se bude systém vyvíjet v čase za daných počátečních podmínek.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Počáteční úloha je zadána diferenciální rovnicí

y'(t) = f(t, y(t)) \,, kde  f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n pro otevřenou množinu \Omega \,, která je podmnožinou \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n,

a bodem v definičním oboru funkce

(t_0, y_0) \in \Omega,

nazývaným počáteční podmínka.

Řešení počáteční úlohy je funkce y, která je řešením diferenciální rovnice, a vyhovuje

y(t_0) = y_0. \,

Ve vyšší dimenzi je diferenciální rovnice nahrazena rodinou rovnic y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), ...) a y(t) se bere jako vektor (y_1(t), ..., y_n(t)). Obecně podmínky pro neznámou funkci y mohou být hodnoty v nekonečněrozměrném prostoru, například v Banachově prostoru nebo prostoru distribucí.

Problém počáteční hodnoty lze rozšířit na vyšší řády používáním derivací stejným způsobem jako nezávislé funkce, například y''(t)=f(t,y(t),y'(t)).

Existence a jednoznačnost řešení[editovat | editovat zdroj]

Pro velkou třídu počátečních úloh lze existenci a jednoznačnost řešení ilustrovat pomocí kalkulátoru.

Picardova–Lindelöfova věta zaručuje jednoznačnost řešení na nějakém intervalu obsahujícím t0, jestliže ƒ je spojitá na oblasti obsahující bod t0 a y0 a vyhovuje Lipschitzově podmínce pro proměnnou y. Důkaz této věty se provádí přeformulováním problému jako ekvivalentu integrální rovnice. Integrál může být považován operátor, který zobrazuje jednu funkci na jinou tak, že řešení je pevným bodem operátoru. Pak se použije Banachova věta o pevném bodě pro důkaz, že existuje jediný pevný bod, který je řešením počáteční úlohy.

Ve starším důkazu Picardovy–Lindelöfovy věta se konstruuje posloupnost funkcí, která konverguje k řešení integrální rovnice a tedy k řešení počáteční úlohy. Taková konstrukce se někdy nazývá „Picardova metoda“ nebo „metoda postupných aproximací“. Tato verze je v zásadě speciálním případem Banachovy věty o pevném bodě.

Hiroshi Okamura získal nutnou a postačující podmínku pro řešení počáteční úlohy, aby byla unikátní. Tato podmínka využívá existenci Ljapunovy funkce systému.

V některých situacích, funkce ƒ není třídy C1 nebo dokonce Lipschitzovská, takže obvyklý výsledek zaručující lokální existenci jednoznačného řešení neplatí. Peanova existenční věta ale dokazuje, že dokonce i pro pouze spojitou funkci ƒ je zaručeno, že řešení existuje lokálně v čase; problémem je, že neexistuje záruka jednoznačnosti. Výsledek lze nalézt v Coddington & Levinson (1955, Věta 1.3) nebo Robinson (2001, Věta 2.6). Ještě obecnějším výsledkem je Carathéodoryho existenční věta, která dokazuje existenci i pro některé nespojité funkce ƒ.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

První příklad

Řešíme rovnici y' = 0.85 y s počáteční podmínkou y(0) = 19. Hledáme funkci y(t), která vyhovuje oběma rovnicím.

Nejdříve zapíšeme y' jako \frac{dy}{dt}:

\frac{dy}{dt} = 0.85 y

pak přeuspořádáme rovnici, aby y bylo na jedné a t na druhé straně:

\frac{dy}{y} = 0.85dt

a obě strany zintegrujeme (což vnáší integrační konstantu B):

\ln | y | = 0.85t + B

aplikujeme inverzní funkci k logaritmu:

 | y | = e^Be^{0.85t}

zavedeme novou integrační konstantu C = \pm e^B:

 y = Ce^{0.85t} .

Nyní potřebujeme nalézt hodnotu C. Použitím počáteční podmínky y(0) = 19 a dosadíme 0 za t a 19 za y

 19 = C e^{0.85 * 0}
 C = 19

Výsledné řešení je  y(t) = 19e^{0.85t}.

Druhý příklad

Řešením diferenciální rovnice s počáteční podmínkou

y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3

je funkce

y(t)=2e^{-3t}+2t+1. \,

což lze ověřit dosazením

 \begin{align}
y'+3y &= \tfrac{d}{dt} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\
      &= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\
      &= 6t+5.
\end{align}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Initial value problem na anglické Wikipedii.

  • Coddington, Earl. a Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London : McGraw-Hill Book Company, Inc., 1955.  
  • Hirsch, Morris W. a Smale, Stephen. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York-London : Academic Press, 1974.  
  • OKAMURA, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser.. 1942. (French) 
  • Agarwal, Ravi P. a Lakshmikantham, V.. Uniqueness a Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. Svazek 6. [s.l.] : World Scientific, 1993. (Series in real analysis) Dostupné online. ISBN 978-981-02-1357-2.  
  • Polyanin, Andrei D. a Zaitsev, Valentin F.. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. 2. vyd. Boca Raton, FL : Chapman & Hall/CRC, 2003. ISBN 1-58488-297-2.  
  • ROBINSON, James C.. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge : Cambridge University Press, 2001. ISBN 0-521-63204-8.