Lineární diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice tvaru

y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x)\,
  • y je neznámá funkce
  • n představuje řád diferenciální rovnice.
  • x je nezávislá proměnná.
  • y(k) je k-tá derivace hledané funkce y(x).
  • ak(x) jsou koeficienty obecně závislé na x. Jsou-li koeficienty ak konstanty, jedná se o diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.
  • f(x) představuje pravou stranu diferenciální rovnice. Pokud f(x) = 0, potom se jedná o homogenní diferenciální rovnici (bez pravé strany).

V lineární diferenciální rovnici se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně a nikde se nevyskytují součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce.

Lineární diferenciální rovnice mohou být obyčejné (s jednou nezávislou proměnnou) i parciální (s více nezávislými proměnnými). Řešení lineární rovnice tvoří (na rozdíl od řešení nelineárních diferenciálních rovnic) vektorový prostor.

Úvod[editovat | editovat zdroj]

Lineární diferenciální rovnici lze nejstručněji zapsat pomocí diferenciálního operátoru L, který musí být lineární:

 Ly = f

y je neznámá funkce (například funkce času y(t)) a pravá strana f je funkce stejné povahy jako y. Rovnici můžeme zapsat i s uvedením nezávislé proměnné t:

 L y(t) = f(t)

nebo ještě přesněji s uzávorkováním

 L [y(t)] = f(t)

Můžeme předpokládat, že lineární operátor L má tvar[1]

L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y

Podmínka linearity L vylučuje takové operace jako provedení druhé mocniny na derivaci funkce y, ale dovoluje například provedení druhé derivace funkce y. Rovnici lze pohodlně přepsat v operátorovém tvaru

 L_n(y) \equiv \left[\,D^n  + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D  + A_n(t)\right] y

kde D je diferenciální operátor d/dt (tj. Dy = y' , D2y = y",... ) a An jsou dané funkce.

Řád rovnice n je index nejvyšší derivace funkce y, která se v rovnici skutečně vyskytuje.

Typickým jednoduchým příkladem je lineární diferenciální rovnice používaná k modelování radioaktivního rozpadu[2]. Označíme N(t) počet radioaktivních atomů v nějakém vzorku materiálu[3] v čase t. Pak lze pro určitou konstantu k > 0 modelovat rychlost rozpadu radioaktivních atomů vztahem

 \frac{dN}{dt} = -k N

Jestliže y je funkce pouze jedné proměnné, mluvíme o obyčejné diferenciální rovnice, jinak musíme derivace a jejich koeficienty chápat jako (kontrahované) vektory, matice nebo tenzory vyššího řádu, a jedná se o (lineární) parciální diferenciální rovnice.

Rovnice, u kterých je f = 0, se nazývají homogenní rovnice a jejich řešení se nazývají komplementární funkce. Jsou velmi důležité pro řešení obecné lineární diferenciální rovnice, protože když libovolnou komplementární funkci přičteme k řešení nehomogenní rovnice, dostaneme jiné řešení (metodou tradičně nazývanou partikulární integrál a komplementární funkce).

Když Ai jsou čísla nezávisející na x, pak o rovnici říkáme, že má konstantní koeficienty.

Homogenní rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Hlavní článek: Charakteristická rovnice

První metodu řešení lineárních homogenních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty vyvinul Leonhard Euler, který zjistil, že řešení má tvar ezx pro jisté hodnoty z (které mohou být i komplexní). Exponenciální funkce je jednou z funkcí, které si zachovávají tvar při derivaci, což dovoluje, aby se součet několika jejích derivací vyrušil a dával nulu, jak vyžaduje rovnice. Pro konstantní hodnoty A1,..., An se tedy má řešit

y^{(n)} + A_{1}y^{(n-1)} + \cdots + A_{n}y = 0\,,

pokud položíme y = ezx, dostaneme

z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.

Po vydělení výrazem ezx dostaneme polynom n-tého stupně:

F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,

Tato algebraická rovnice F(z) = 0 je charakteristickou rovnicí, kterou později studoval Gaspard Monge a Augustin Louis Cauchy.

Formálně jsou termy

y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).

původní diferenciální rovnice nahrazeny zk. Řešením rovnice dostaneme n kořenů z, z1, ..., zn. Substituce libovolného z těchto kořenů za z do ezx dává řešení ezix. Protože pro homogenní lineární diferenciální rovnice platí princip superpozice, libovolná lineární kombinace těchto funkcí také vyhovuje diferenciální rovnici.

Jsou-li tyto kořeny navzájem různé, máme n různých řešení diferenciální rovnice. Aplikací Vandermondova determinantu lze ukázat, že jsou lineárně nezávislá, a že spolu vytváří bázi prostoru všech řešení diferenciální rovnice.

Příklad

Diferenciální rovnice

y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0

má charakteristickou rovnici

z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0,

která má kořeny i, −i a 1 (s násobností 2). Báze řešení je tedy

e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x.

To odpovídá bázi reálných řešení

\cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,.

Výše uvedená úvaha dává řešení v případě, kdy všechny kořeny jsou navzájem různé, tj. každý má násobnost 1. V obecném případě pokud z je (možná komplexní) kořen funkce F(z) s násobností m, pak pro k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,, je řešením obyčejné diferenciální rovnice y=x^ke^{zx}. Použitím tohoto postupu na všechny kořeny dává sadu n různých lineárně nezávislých funkcí, kde n je stupeň polynomu F(z). Jako v předchozím příkladě, tyto funkce vytvářejí bázi prostoru řešení.

Jestliže koeficienty Ai diferenciální rovnice jsou reálné, pak reálná řešení jsou obecně vhodnější. Kořeny z, které nejsou reálné, se pak vyskytují v komplexně sdružených párech, tak do jejich odpovídajícím bázové funkce xkezx a požadovaný výsledek získáme nahrazením každé dvojice jejich reálnou lineární kombinací Re(y) a Im(y), kde y je jedním z dvojice.

Případ, ve kterém se vyskytují komplexní kořeny, lze řešit pomocí Eulerova vzorce.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Je dána diferenciální rovnice y''-4y'+5y=0. Charakteristická rovnice je z^2-4z+5=0, a její kořeny jsou 2±i. Báze řešení je tedy \{y_1,y_2\} = \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}. Funkce y je řešením právě tehdy, když y=c_1y_1+c_2y_2 pro libovolné konstatnty c_1,c_2\in\mathbf{C}.

Protože koeficienty původní rovnice jsou reálné,

  • pravděpodobně nás nezajímají komplexní řešení
  • prvky báze vycházejí z komplexně sdružených hodnot

Lineární kombinace

u_1=\mbox{Re}(y_1)=\tfrac{1}{2} (y_1+y_2) =e^{2x}\cos(x),
u_2=\mbox{Im}(y_1)=\tfrac{1}{2i} (y_1-y_2) =e^{2x}\sin(x),

jsou reálnou bází \{u_1,u_2\}.

Jednoduchý harmonický oscilátor[editovat | editovat zdroj]

Diferenciální rovnici druhého řádu

 D^2 y = -k^2 y,

která reprezentuje jednoduchý harmonický oscilátor, lze zapsat jako

 (D^2 + k^2) y = 0.

Výraz v závorkách lze rozložit:

 (D + i k) (D - i k) y = 0,

z čehož je vidět dvojice lineárně nezávislých řešení:

 (D - i k) y = 0
 (D + i k) y = 0.

Řešení jsou po řadě

 y_0 = A_0 e^{i k x}

a

 y_1 = A_1 e^{-i k x}.

Tato řešení tvoří bázi dvourozměrného prostoru řešení diferenciální rovnice druhého řádu: to znamená, že lineární kombinace těchto řešení bude také řešením. Konkrétně lze zkonstruovat následující řešení

 y_{0'} = {C_0 e^{i k x} + C_0 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x)

a

 y_{1'} = {C_1 e^{i k x} - C_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x).

Tato poslední dvě trigonometrická řešení jsou lineárně nezávislá, takže mohou sloužit jako jiná báze prostoru řešení, což dává následující reálné obecné řešení:

 y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x).

Tlumený harmonický oscilátor[editovat | editovat zdroj]

Rovnice pro tlumený harmonický oscilátor má tvar:

 \left(D^2 + \frac{b}{m} D + \omega_0^2\right)  y =  0,

Výraz v závorkách můžeme rozložit: nejdříve získáme charakteristickou rovnici nahrazením D za λ. Tato rovnice musí být splněna pro všechna y, tedy:

 \lambda^2 + \frac{b}{m} \lambda + \omega_0^2 = 0.

Řešíme pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

 \lambda = \tfrac{1}{2} \left (-\frac{b}{m} \pm \sqrt{\frac{b^2}{m^2} - 4 \omega_0^2} \right ).

A výsledek použijeme pro faktorizaci původní diferenciální rovnice:

\left(D + \frac{b}{2m} - \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + \frac{b}{2m} + \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0.

Což dává dvojici rovnic:

 \left(D + \frac{b}{2m} - \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0
 \left(D + \frac{b}{2m} + \sqrt{\frac{b^2}{4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0

s řešeními po řadě

 y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}
 y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}

kde ω = b/2m. Z této lineárně nezávislé dvojice řešení můžeme zkonstruovat jinou lineárně nezávislou dvojici, která tedy slouží jako báze pro dvourozměrný prostor řešení:

 y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \left (\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x \right ) + A_1 \cosh \left ( \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x \right ) \right) e^{-\omega x}.

Ale pro |ω| < |ω0| je vhodnější se zbavit imaginárních složek a obecné řešení vyjádřit jako

 y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \left(\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x \right ) + A_1 \cos \left (\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x \right ) \right) e^{-\omega x}.

Toto druhé řešení odpovídá podkritickému tlumení, při kterém dochází k tlumenému kmitání, zatímco první řešení odpovídá tlumení nadkritickému, kterému již odpovídá pouze aperiodický pohyb.

Nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Pro získání řešení nehomogenní rovnice hledáme partikulární integrál yP(x) buď metodou neurčitých koeficientů nebo metodou variace konstant; obecné řešení lineární diferenciální rovnice je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Pokud jsou zadány počáteční podmínky, lze použít Laplaceovu transformaci pro získání partikulárního řešení přímo.

Předpokládejme, že máme řešit rovnici

\frac {d^{n}y(x)} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y(x)} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x).

Definujeme charakteristický polynom

P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n.

A najdeme bázi řešení \{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\} přidružené homogenní (f(x) = 0) rovnice. Pak hledáme partikulární řešení yp(x) nehomogenní rovnice metodou variace konstant: Nechť koeficienty lineární kombinace jsou funkcemi proměnné x:

y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x).

Pro zjednodušení zápisu nebudeme zapisovat závislost na x (ze zápisu vypustíme všechna (x)). Při použití operátorového zápisu D = d/dx lze diferenciální rovnici jednoduše zapsat P(D)y = f. Pak

f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n).

S omezeními

0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n
0=u'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n
 \cdots
0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n

se rovnice zjednoduší:

f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Ale protože P(D)yj = 0, dostáváme

f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Což s omezeními dává lineární soustavu pro u′j. Tu můžeme vždy řešit; kombinací Cramerova pravidla s Wronskiánem dostáváme

u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.

Zápis použitý výše znamená, že máme vzít minor (i,n) matice W a znásobit jej f. Kvůli tomu dostaneme záporné znaménko. Případně se nemusíme zabývat znaménkem minus a pouze spočítáme determinant matice získané nahrazením j-tého sloupce matice W vektorem (0, 0, ..., f).

Zbytek získáme integrací u′j.

Partikulární integrál není jednoznačný; y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n také vyhovuje obyčejné diferenciální rovnici pro libovolnou množinu konstant cj.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Řešíme rovnici y''-4y'+5y=\sin(kx). Vezměme bázi řešení nalezenou výše \{e^{(2+i)x}=y_1(x),e^{(2-i)x}=y_2(x)\}.

\begin{align}
W &= \begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x} \\ (2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x} \end{vmatrix} = e^{4x}\begin{vmatrix}1&1\\ 2+i&2-i\end{vmatrix} =-2ie^{4x}\\
u'_1 &=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\ \sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix} = -\tfrac{i}{2} \sin(kx)e^{(-2-i)x}\\
u'_2 &=\frac{1}{W}\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\ (2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix} =\tfrac{i}{2} \sin(kx)e^{(-2+i)x}.
\end{align}

Použitím seznamu integrálů exponenciálních funkcí

u_1=-\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx =\frac{ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)
u_2=\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx=\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).

odtud

\begin{align}
y_p &= u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) = \frac{i}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right) +\frac{i}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right) \\
&=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}.
\end{align}

(Všimněte si, že u1 a u2 mají faktory, které vyruší y1 a y2, což je typické.)

Pro zajímavost, fyzickou interpretací této obyčejné diferenciální rovnice je buzený tlumený harmonický oscilátor; yp reprezentuje stacionární řešení a c_1y_1+c_2y_2 obecné.

Rovnice s proměnnými koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar

p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Jednoduchým příkladem je Eulerova rovnice často používaná v technice

x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.

Rovnice prvního řádu[editovat | editovat zdroj]

Příklad
Řešte rovnici
y'(x)+3y(x)=2

s počáteční podmínkou

y(0)=2.

Při použití obecné metody řešení:

y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right). \,

Vyřešením neurčitého integrálu dostaneme:

y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right). \,

Pak se můžeme omezit na:

y=2/3 + \kappa e^{-3x}. \,

Z počátační podmínky plyne, že

\kappa = 4/3.\,

Lineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar

Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).

kde D je diferenciální operátor. Rovnice tohoto tvaru můžeme řešit vynásobením integračním faktorem

e^{\int f(x)\,dx}

čímž získáme

 Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},

což zjednodušíme použitím součinového pravidla na

 D\left  (y(x)e^{\int f(x)\,dx} \right )=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

po zintegrování obou stran a vyřešení pro y(x) dostaneme:

 y(x) = \frac{\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c}{e^{\int f(x)\,dx}}.

Jinými slovy: Řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu

y'(x) + f(x) y(x) = g(x),

s koeficienty, které mohou, ale nemusí být funkcí proměnné x, je

y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)

kde κ je integrační konstanta a

a(x)=\int{f(x)\,dx}.

Kompaktní tvar obecného řešení je (viz J. Math. Chem. 48 (2010) 175):

 y(x) = \int_a^x \! {[y(a) \delta(t-a)+g(t)] e^{-\int_t^x \!f(u)du}\, dt}\,.

kde δ(x) je zobecněná Diracova delta funkce.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty:

\frac{dy}{dx} + b y = 1.

Tato rovnice je zvlášť důležitá pro soustavy prvního řádu jako například RC obvody a tlumené kmitání.

V tomto případě, f(x) = b, g(x) = 1.

Proto její řešení je

y(x) = e^{-bx} \left( \frac{e^{bx}}{b}+ C \right) = \frac{1}{b} + C e^{-bx} .

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Libovolnou lineární obyčejnou diferenciální rovnici nebo dokonce soustavu takových rovnic lze převést na soustavu lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu sečtením proměnných pro všechny derivace kromě derivace nejvyššího řádu. Soustavy lineárních rovnic můžeme považovat za jedinou rovnici s vektorovou proměnnou. Obecné řešení je podobné jako řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedené výše, ale s komplikacemi pramenícími z nekomutativity násobení matic.

Pro řešení

\left\{\begin{array}{rl}\mathbf{y}'(x) &=(x)\mathbf{y}(x)+\mathbf{b}(x)\\\mathbf y(x_0)&=\mathbf y_0\end{array}\right.

(kde \mathbf{y} (x) je vektor nebo matice a A( x ) je matice), nechť U( x ) je řešení of \mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x) s U(x_0) = I (jednotková matice). U je fundamentální matice rovnice – sloupce matice U vytváří úplnou lineárně nezávislou množinu řešení homogenní rovnice. Po substitucí \mathbf y(x) = U(x)\mathbf z(x) se rovnice \mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x)+\mathbf b(x) zjednoduší na U(x)\mathbf z'(x) = \mathbf b(x). Tedy

\mathbf{y}(x) = U(x)\mathbf{y_0} + U(x)\int_{x_0}^x U^{-1}(t)\mathbf{b}(t)\,dt

Pokud A(x_1) komutuje s A(x_2) pro všechna  x_1 a   x_2, pak

U(x) = e^{\int_{x_0}^x(x)\,dx}

a tedy

U^{-1}(x) = e^{-\int_{x_0}^x(x)\,dx},

ale v obecném případě řešení v uzavřeném tvaru neexistuje. Proto se používají přibližné metody jako například Magnusova expanze. Všimněte si, že exponenciální funkce jsou maticové exponenciální funkce.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Notes[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Linear differential equation na anglické Wikipedii.

  1. Gershenfeld 1999, p.9
  2. Robinson 2004, p.5
  3. Robinson 2004, p.7

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Birkhoff, Garrett a Rota, Gian-Carlo. Ordinary Differential Equations. New York : John Wiley a Sons, Inc., 1978. ISBN 0-471-07411-X.  
  • Gershenfeld, Neil. The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK. : Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-57095-4.  
  • Robinson, James C.. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge, UK. : Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-82650-0.