Násobení matic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pokud A je matice m × n a B je matice n × p (tedy pokud první matice má tolik sloupců, kolik má druhá matice řádků), jejich součin A × B je matice m × p zadaná

$(A\cdot B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$

pro všechny dvojice i a j.

O násobení matic se také hovoří jako o maticovém násobení.

V podstatě jde o skalární součin vektoru řádku první matice s vektorem sloupce druhé matice. Tento výsledek se pak zapíše na pozici ve výsledné matici, jejíž index odpovídá číslu řádku první matice a číslu sloupce druhé matice.

[editovat] Příklad výpočtu

Pokud předchozí rovnici příliš nerozumíte, možná Vám pomůže tento ukázkový příklad:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \ \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60 \\ 70 & 80 & 90 \\ \end{pmatrix}$

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\begin{pmatrix} (1 \cdot 10)+(2 \cdot 40)+(3 \cdot 70) & (1 \cdot 20)+(2 \cdot 50)+(3 \cdot 80) & (1 \cdot 30)+(2 \cdot 60)+(3 \cdot 90) \\ (4 \cdot 10)+(5 \cdot 40)+(6 \cdot 70) & (4 \cdot 20)+(5 \cdot 50)+(6 \cdot 80) & (4 \cdot 30)+(5 \cdot 60)+(6 \cdot 90) \\ (7 \cdot 10)+(8 \cdot 40)+(9 \cdot 70) & (7 \cdot 20)+(8 \cdot 50)+(9 \cdot 80) & (7 \cdot 30)+(8 \cdot 60)+(9 \cdot 90) \\ \end{pmatrix}$

Jiný příklad:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} =$

$= \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 & 0 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

Násobíme-li první řádek s prvním sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna jedna ve výsledné matici.(Vidíme, že první matice musí mít stejně sloupců jako druhá matice řádků. Jinak bychom při násobení příslušného řádku a sloupce neměli co násobit a výsledek by nebyl definován.) Násobíme-li první řádek s druhým sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna dva ve výsledné matici. Atd.

[editovat] Vlastnosti

Matice tvoří vůči maticovému násobení okruh.
Maticové násobení je distributivní vůči sčítání

$\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)= \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}$ .

Maticové násobení je lineární vůči násobení reálným číslem

$\mathbf{A} \cdot \left( c \mathbf{B} \right) = c \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ .

Při maticovém násobení může být součin dvou nenulových matic $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ roven nulové matici.
Maticové násobení není komutativní, tedy obecně