Násobení matic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Pokud A je matice m × n a B je matice n × p (tedy pokud první matice má tolik sloupců, kolik má druhá matice řádků), jejich součin A × B je matice m × p zadaná

 (A\cdot B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.

pro všechny dvojice i a j.

O násobení matic se také hovoří jako o maticovém násobení.

V podstatě jde o skalární součin vektoru řádku první matice s vektorem sloupce druhé matice. Tento výsledek se pak zapíše na pozici ve výsledné matici, jejíž index odpovídá číslu řádku první matice a číslu sloupce druhé matice.

Obsah

[editovat] Příklad výpočtu

Pokud předchozí rovnici příliš nerozumíte, možná Vám pomůže tento ukázkový příklad:

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}
\    

\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
10 & 20 & 30 \\
40 & 50 & 60 \\
70 & 80 & 90 \\
\end{pmatrix}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
(1 \cdot 10)+(2 \cdot 40)+(3 \cdot 70) & (1 \cdot 20)+(2 \cdot 50)+(3 \cdot 80) & (1 \cdot 30)+(2 \cdot 60)+(3 \cdot 90) \\
(4 \cdot 10)+(5 \cdot 40)+(6 \cdot 70) & (4 \cdot 20)+(5 \cdot 50)+(6 \cdot 80) & (4 \cdot 30)+(5 \cdot 60)+(6 \cdot 90) \\
(7 \cdot 10)+(8 \cdot 40)+(9 \cdot 70) & (7 \cdot 20)+(8 \cdot 50)+(9 \cdot 80) & (7 \cdot 30)+(8 \cdot 60)+(9 \cdot 90) \\
\end{pmatrix}

Jiný příklad:


  \begin{pmatrix}
     1 & 0 & 2 \\ 
     -1 & 3 & 1
  \end{pmatrix}
\cdot
  \begin{pmatrix} 
    3 & 1 \\ 
    2 & 1 \\ 
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}
=
=
\begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 1 \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix} 0 \cdot 2 & 0 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}

Násobíme-li první řádek s prvním sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna jedna ve výsledné matici.(Vidíme, že první matice musí mít stejně sloupců jako druhá matice řádků. Jinak bychom při násobení příslušného řádku a sloupce neměli co násobit a výsledek by nebyl definován.) Násobíme-li první řádek s druhým sloupcem, zapíšeme výsledek na pozici jedna dva ve výsledné matici. Atd.

[editovat] Vlastnosti

\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)= \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}.
\mathbf{A} \cdot \left( c \mathbf{B} \right) = c \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}.
  • Při maticovém násobení může být součin dvou nenulových matic \mathbf{A}, \mathbf{B} roven nulové matici.
  • Maticové násobení není komutativní, tedy obecně
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \neq\mathbf{B} \cdot \mathbf{A},

a to ani v případě čtvercových matic.

\mathbf{E} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{A},

kde \mathbf{A}, \mathbf{E} jsou čtvercové matice typu n \times n.

\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B},

potom pro jejich determinanty platí

\det \mathbf{C}=\det \mathbf{A}\,\det \mathbf{B}
  • Vzhledem k nekomutativnosti maticového násobení má význam tzv. komutátor matic, který je definován jako
[\mathbf{A},\mathbf{B}] = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} - \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}
{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^T = \mathbf{B}^T \cdot \mathbf{A}^T
{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}

přitom \mathbf{A}, \mathbf{B} musí být regulární, aby existovaly jednotlivé inverzní matice

{(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^+ = \mathbf{B}^+ \cdot \mathbf{A}^+

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy