Izomorfismus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Izomorfismus je zobrazení mezi dvěma matematickými strukturami, které je vzájemně jednoznačné (bijektivní) a zachovává všechny vlastnosti touto strukturou definované. Jinými slovy, každému prvku první struktury odpovídá právě jeden prvek struktury druhé a toto přiřazení zachovává vztahy k ostatním prvkům.

O izomorfismech je možno mluvit mezi množinami, algebraickými i relačními strukturami, grafy, modely, metrickými i topologickými prostory a mnoha dalšími strukturami.

Například zobrazení f(x)=2x z množiny reálných čísel do reálných čísel zachovává sčítání (a je tedy grupovým izomorfismem), ale ne násobení (proto není tělesovým izomorfismem) ani vzdálenost (proto není izomorfismem metrických prostorů, ovšem je homeomorfismem neboli topologickým izomorfismem).

Pokud takové zobrazení existuje (tedy struktury jsou izomorfní), mají obě množiny zcela totožné vlastnosti, takže rozdíl mezi nimi je pouze formální a nepodstatný (z hlediska příslušné teorie). Například funkce arkus tangens je topologickým, ale ne metrickým izomorfismem mezi intervalem  (-\pi, \pi ) \,\! a reálnými čísly, takže tyto dvě struktury (množiny vybavené metrikou) mají zcela shodné všechny topologické vlastnosti, ale ne všechny metrické.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Zde uvedeme definice pro jednotlivé obory matematiky a vztahy mezi nimi.

Definice z teorie množin[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že na množině  X \,\! jsou definovány relace  R_1, R_2, \ldots , R_n \,\! a na množině  Y \,\! jsou definovány relace  S_1, S_2, \ldots , S_n \,\! . Řekneme, že zobrazení  F \,\! je izomorfismus mezi  X \,\! a  Y \,\! vzhledem k relacím  R_1, R_2, \ldots , R_n \,\! a  S_1, S_2, \ldots , S_n \,\! , pokud platí:

Řekneme, že struktury  X, R_1, R_2, \ldots , R_n \,\! a  Y, S_1, S_2, \ldots , S_n \,\! jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje nějaký izomorfismus ve smyslu výše uvedené definice.

Význam definice[editovat | editovat zdroj]

I když vypadá definice hrozivě a nepřehledně, zachycuje přesně to, co je řečeno v úvodním přiblížení:

  • V rámci izomorfismu se nesmí žádné prvky ztrácet ani objevovat, obě množiny musí mít stejný počet prvků (v případě nekonečných množin stejnou mohutnost).
  • Izomorfismus musí zachovávat všechny vztahy, tj. relace - pokud jsou v původní množině nějaké prvky v nějakém vztahu, musí být v nové množině také v odpovídajícím vztahu a naopak.

Definice pro uspořádané množiny[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme o množinách  X, Y \,\! , které mají uspořádání  R, S \,\! . Izomorfismus v tomto případě znamená, že pokud je  a,b \isin X, a \leq_R b \,\! , pak musí být  F(a) \leq_S F(b) \,\! .

Dá se snadno ukázat, že v izomorfismu se musí nejmenší prvek zobrazit opět na nejmenší prvek, infimum na infimum, minimální prvek na minimální prvek…

Algebraická definice[editovat | editovat zdroj]

V algebře izomorfismem mezi dvěma algebrami rozumíme bijektivní homomorfismus, tedy zobrazení slučitelné se všemi operacemi na algebře, které je zároveň bijekcí (každému prvku z jedné množiny přiřadí právě jeden prvek z druhé).

Opět se jedná o zvláštní případ výše uvedené definice - uvědomme si, že operace není nic jiného, než konkrétní typ relace.

Dá se snadno ukázat, že v izomorfismu se musí neutrální prvek operace zobrazit na neutrální prvek jí odpovídající operace v druhé množině, obdobně například inverzní prvek opět na inverzní prvek.

Definice pro grafy[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Izomorfismus (graf).

V teorii grafů řekneme, že dva grafy jsou izomorfní, pokud \exists\ F\colon V(G) \to V(G'): \{x,y\} \in E(G) \Leftrightarrow \{f(x),f(y)\} \in E(G').

Vztah k homomorfismům[editovat | editovat zdroj]

U algebraických struktur jsou izomorfismem právě bijektivní homomorfismy. To však neplatí [pozn 1] pro některé jiné struktury, např. relační struktury nebo topologické prostory (v nichž roli homomorfismu plní spojitá zobrazení). Obecně však platí, že zobrazení mezi dvěma strukturami je izomorfismem, právě když je bijektivním homomofismem, jehož inverzní zobrazení je také homomorfismem.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Grupa celých čísel s obvyklým sčítáním je izomorfní s množinou všech sudých čísel s obvyklým sčítáním pomocí zobrazení f(x) = 2x. Celá čísla s operací násobení tvoří monoid, tento monoid však není izomorfní s množinou sudých čísel s obvyklým násobením - například f(1) . f(1) = 4, ale f(1.1) = 2. Pokud bychom ale na sudých číslech zavedli novou operaci  \circ tak, že  x \circ y =  { {x.y} \over 2 } , pak obrazení f již je izomorfismem. Například  2 \circ 2 = 2 , takže platí  f(1)\cdot f(1) = f(1.1)  a obecně   f(x)\circ f(y) = f(x.y), což je definice izomorfismu.
  • Pro množiny všech přirozených čísel a všech celých čísel neexistuje izomorfismus - celá čísla mají prvky menší než 1 (0, -1, -2, ...), zatímco přirozená čísla ne.
  • Algebry zbytkových tříd po dělení sedmi a zbytkových tříd po dělení devíti nejsou izomorfní - to vyplývá z faktu, že nemají stejný počet prvků, takže mezi nimi neexistuje žádné vzájemně jednoznačné zobrazení.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Protipříkladem je např. bijekce mezi neorientovanými grafy se dvěma vrcholy, z nichž první (vzor) nemá žádné hrany, ale druhý má jednu. To je bijektivní homomorfismus, ale ne izomorfismus.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]