Model (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Model jazyka[editovat | editovat zdroj]

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly c_\alpha; \alpha\in I_K, funkční symboly \,f_\alpha četností n_\alpha; \alpha\in I_F a predikátové symboly \,p_\alpha četností n_\alpha; \alpha\in I_P, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami C_\alpha\in A; \alpha\in I_K, funkcemi F_\alpha :A^{n_\alpha}\rightarrow A; \alpha \in I_F a relacemi P_\alpha \subseteq A^{n_\alpha}; \alpha\in I_P. Konstanta \,C_\alpha, resp. funkce \,F_\alpha, resp. relace \,P_\alpha se nazývá realizací konstantního symbolu \,c_\alpha, resp. funkčního symbolu \,f_\alpha, resp. predikátového symbolu \,p_\alpha v modelu A a značí se \,c_\alpha^A, resp. \,f_\alpha^A, resp. \,p_\alpha^A. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí \mathcal{A}.

Tarského definice pravdy[editovat | editovat zdroj]

V tomto odstavci značí \mathcal{A} model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu \mathcal{A} je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu[editovat | editovat zdroj]

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme \,t^A<e>, se definuje indukcí dle složitosti takto:

Platnost formule[editovat | editovat zdroj]

Platnost formule \,\varphi jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu \mathcal{A} definujeme indukcí dle složitosti takto (\,\varphi platí v \mathcal{A} při ohodnocení e značíme \mathcal{A}\models\varphi<e>, \,\varphi neplatí v \mathcal{A} při ohodnocení e značíme \mathcal{A}\not\models\varphi<e>):

  • Je-li \,\varphi atomická formule tvaru p_\alpha(t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1}), pak \mathcal{A}\models\varphi<e>, pokud (t_0^A<e>,\ldots,t_{n_\alpha-1}^A<e>)\in P_\alpha^A.
  • Je-li \,\varphi atomická formule tvaru \,t_0=t_1, pak \mathcal{A}\models\varphi<e>, pokud t_0^A<e>=t_1^A<e>.
  • Je-li \,\varphi formule tvaru \neg \psi, pak \mathcal{A}\models\varphi<e> pokud \mathcal{A}\not\models\psi<e>
  • Je-li \,\varphi formule tvaru \psi \Rightarrow \chi, pak \mathcal{A}\models\varphi<e> pokud buďto \mathcal{A}\not\models\psi<e> nebo \mathcal{A}\models\chi<e>.
  • Je-li \,\varphi formule tvaru (\forall x)\psi, pak \mathcal{A}\models\varphi<e>, pokud \mathcal{A}\models\psi<e(x/a)> pro všechna a\in A.

Říkáme, že \,\varphi platí v modelu \mathcal{A}, značíme \mathcal{A}\models\varphi, pokud \mathcal{A}\models\varphi<e> pro každé ohodnocení proměnných e.

Model teorie[editovat | editovat zdroj]

Je-li T teorie v jazyce L a \mathcal{A} struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že \mathcal{A} je modelem T, značíme \mathcal{A}\models T, pokud \mathcal{A}\models\varphi pro každý axiom \,\varphi teorie T.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismus modelů[editovat | editovat zdroj]

Izomorfismem modelů (struktur) \mathcal{A},\, \mathcal{B} téhož jazyka L je taková bijekce i:A\rightarrow B, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

  • \,i(c^{A})=c^B pro každý konstantní symbol c jazyka L
  • i(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(i(a_1),\ldots,i(a_n)) pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
  • p^A(a_1,\ldots,a_n)\Leftrightarrow p^B(i(a_1),\ldots,i(a_n))

Existuje-li izomorfismus modelů \mathcal{A},\, \mathcal{B}, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články[editovat | editovat zdroj]