Löwenheimova–Skolemova věta

Löwenheimova-Skolemova věta je matematické tvrzení z oblasti teorie modelů.

Název nese podle německého logika a matematika Leopolda Löwenheima a norského matematika Thoralfa Skolema.

Znění

Kardinalitou jazyka L se ve znění Löwenheimovy-Skolemovy věty myslí vždy kardinální číslo $\|L\|=\aleph _{0}+|L|$ (viz funkce alef). Díky této definici lze Löwenheimovu-Skolemovu větu vyslovit jako dvě samostatná tvrzení nazývané Löwenheimova-Skolemova věta nahoru resp. dolů takto:

Nechť A je model (nějaké teorie) v jazyce L:

• Löwenheimova-Skolemova věta nahoru: Pro libovolný kardinál $\kappa \geq \|L\|+|A|$ existuje elementární rozšíření B modelu A mohutnosti právě $\kappa$.
• Löwenheimova-Skolemova věta dolů: Pro libovolný kardinál $\|L\|\leq \kappa \leq |A|$ existuje elementární podmodel B modelu A mohutnosti právě $\kappa$.

Skolemův paradox

Skolemův paradox je tvrzení, které je přímým důsledkem Löwenheimovy-Skolemovy věty dolů. Spočívá v následující úvaze.

Princip paradoxu

Jazyk teorie množin je pouze jednoprvkový, tedy (viz definice před zněním Löwenheimovy-Skolemovy věty) má spočetnou kardinalitu. Je-li teorie množin (například v Zermelově-Fraenkelově axiomatizaci) bezesporná, má nějaký model, a tedy dle Löwenheimovy-Skolemovy věty dolů má i spočetný model S. Protože však v teorii množin je dokazatelná existence nespočetné množiny, musí být nějaká nespočetná množina, a tedy i všechny její prvky, v modelu S. Tedy model S obsahuje nespočetně mnoho prvků, což je (zdánlivě) spor.

Řešení

Řešení Skolemova paradoxu je velmi jednoduché, neboť spočívá pouze v ukázání chybnosti úvahy vedoucí zdánlivě ke sporu. Chybnost této úvahy spočívá v tom, že množina, která je „ve smyslu modelu S“ nespočetná (tj. v S o ní platí, že je nespočetná), nemusí (a Skolemův paradox říká, že ani nemůže) být nespočetná „absolutně“. Nespočetnost takové množiny „ve smyslu S“ znamená pouze to, že v S neexistuje bijekce mezi touto množinou a množinou přirozených čísel v S (ta jsou stejná jako „absolutní přirozená čísla“). Taková bijekce však může existovat (a Skolemův paradox říká, že existuje) mimo S, tedy „absolutně“ může (musí) být tato množina spočetná. Tedy i množina, která je „ve smyslu S“ nespočetná, může být podmnožinou („absolutně“) spočetné množiny S.

Související články

• Russellův paradox
• Cantorův paradox
• Elementární vnoření

Portály: Matematika