Bijekce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Bijektivní funkce

Bijekce (také bijektivní zobrazení nebo vzájemně jednoznačné zobrazení) je zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení a surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek ze startovní množiny.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Protože bijekce je injekce zároveň se surjekcí, výpočet všech možných bijekcí se provede jednoduše jako h!

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Mějme zobrazení fR → R definované takto: f(x) = 2x + 1. Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo y můžeme vyřešit y = 2x + 1 a tak získat právě jedno x = (y − 1)/2.

Na druhé straně, zobrazení gR → R definované jako g(x) = x2 není bijektivní, a to ze dvou důvodů:

Zaprvé máme například g(1) = 1 = g(−1), takže g není injektivní; zadruhé neexistuje x tak, že x2 = −1, čili g není ani surjektivní. Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že g není bijektivní.

Bijektivní zobrazení je užitečné pro zavedení pojmu "spočetnost" množiny. Množina M je spočetná, pokud existuje bijektivní zobrazení mezi množinou M a množinou přirozených čísel. Populárněji lze říci, že spočetná množina obsahuje "stejný počet prvků" jako množina přirozených čísel. Lze snadno dokázat, že sudých čísel je "stejný počet" jako je všech přirozených čísel, i když to na první pohled vypadá nesmyslně. Stačí zavést bijektivní zobrazení n→2n, které přirozenému číslu přiřadí jeho dvojnásobek, respektive přiřadí sudému číslu jeho polovinu.

Související články[editovat | editovat zdroj]