Matematická logika
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Matematická logika je vědní disciplína nacházející se na rozhraní mezi logikou a matematikou. Zabývá se zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz, teorie, axiomatizace, model, bezespornost, úplnost, rozhodnutelnost.
Základní disciplíny [editovat]
Současná matematická logika se dělí na tři rozsáhlé disciplíny, které spolu úzce souvisejí. Jsou to teorie důkazu, teorie modelů a teorie aritmetiky.
- Teorie důkazu se zabývá vytvářením zkoumáním různých formálních deduktivních systémů jakožto základů pro pojem formálního důkazu. Používá čistě finitní metody nejčastěji aplikované na konečné posloupnosti znaků či slov.
- Teorie modelů se zabývá zkoumáním obecného pojmu matematické struktury a platnosti nějakého tvrzení v této struktuře. Zejména se zajímá o pojmy jako jsou homomorfismus struktur, definovatelnost, axiomatizovatelnost, saturovanost, elementární vnoření. Zcela běžně používá infinitní metody teorie množin a výsledky, kterých lze v teorii modelů dosáhnout, jsou často závislé na přijetí či odmítnutí nějakého dodatečného množinového axiomu (axiom výběru, zobecněná hypotéza kontinua).
- Teorie aritmetiky se zabývá zkoumáním formálních aritmetických systémů jako jsou Robinsonova a Peanova aritmetika a struktury v nich definovatelných množin přirozených čísel. Úzce souvisí s teoretickou informatikou zejména s teorií rekurze a teorií složitosti. Zajímá se také o možnosti „aritmetizace logiky“, tj. vyjádření některých logických pojmů, postupů a tvrzení v řeči přirozených čísel, a o to, jaké důsledky tato aritmetizace přináší (jedním z nich jsou například slavné Gödelovy věty o neúplnosti).
