Rozhodnutelnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rozhodnutelnost je matematický pojem z oblasti matematické logiky. Vyjadřuje, zda existuje konečný algoritmus, který pro každou formuli určí, zda je v dané teorii dokazatelná nebo není. Teorie, pro níž takový algoritmus existuje, se nazývá rozhodnutelná, v opačném případě pak nerozhodnutelná. Problematika rozhodnutelnosti úzce souvisí s Gödelovými větami o neúplnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Rozhodnutelná teorie[editovat | editovat zdroj]

Teorie je rozhodnutelná, pokud množina všech formulí v ní dokazatelných je rekurzivní. Není-li teorie rozhodnutelná, nazývá se nerozhodnutelná.

Silně nerozhodnutelná struktura[editovat | editovat zdroj]

Struktura se nazývá silně nerozhodnutelná, je-li nerozhodnutelná každá teorie, která ji má za model.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Rozhodnutelnost či nerozhodnutelnost se přenáší mezi teoriemi, mezi nimiž je určitý vztah. Nejpoužívanější tvrzení, která o tomto hovoří, jsou následující:

  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o konečně mnoho axiomů v témže jazyce je rozhodnutelné.
  • Rozšíření rozhodnutelné teorie o definice je rozhodnutelné.
  • Teorie, v níž je interpretovatelná nerozhodnutelná teorie, je také nerozhodnutelná.
  • Konzervativní rozšíření nerozhodnutelné teorie je nerozhodnutelné.

O silně nerozhodnutelných strukturách platí:

  • Je-li v nějaké struktuře definovatelná silně nerozhodnutelná struktura, pak je tato struktura také silně nerozhodnutelná.

Dále se často používá:

  • Rekurzivně axiomatizovatelná nerozhodnutelná teorie je neúplná.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Důsledky nerozhodnutelnosti Robinsonovy aritmetiky[editovat | editovat zdroj]

Robinsonova aritmetika je nerozhodnutelná teorie. Dokonce každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky je nerozhodnutelné. Tato dvě tvrzení mají mnoho důsledků:

Rozhodnutelné teorie[editovat | editovat zdroj]

Následující teorie jsou rozhodnutelné:

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]