Binární relace

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel $A = (1, 5, 8)$, $B = (3, 5, 6)$. Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z $A$ k prvkům z $B$. Vidíme, že číslo $8$ (z množiny $A$) „je větší“ než číslo $3$ z $B$. A říkáme, že prvek $8$ je v binární relaci „je větší“ s prvkem $3$, zkráceně $(8$ „je větší“ $3)$. Většinou prvky které jsou v binární relaci značíme jen jako uspořádanou dvojici $[8,3]$. Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic $R = ([8,3], [8,5], [8,6], [5,3])$. Na množinu $R$ lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu $A\times B$. Množiny $(A, B, R)$ lze použít jako definici binární relace.

Formální definice

Binární relace je uspořádána trojice $[A,$ $B,$ $R]$, kde $A$ a $B$ jsou libovolné množiny a $R$ je podmnožina kartézského součinu $A\times B$. Množině $A$ se říká definiční obor, množině $B$ obor hodnot a množinu $R$ nazýváme graf relace.

Značení relací

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí $[x,$ $y]$ nebo pokud chceme rozlišit o kterou relaci se jedná pak $(x$ $R$ $y)$, kde $x\in A, y\in B$ a $R$ je označení příslušné množiny z definice.

Druhy relací

Binární relace je

• symetrická pokud platí $(x$ $R$ $y)$, pak $(y$ $R$ $x)$.

Příkladem může být relace $R =$ „je sourozenec“. Je-li $A$ i $B$ množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já R sestra) a také (sestra R já). (Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická).

• tranzitivní pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $z)$, pak platí $(x R z)$.

Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr,(a současně) Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.

• reflexivní pokud pro všechny x patřící X platí $(x$ $R$ $x)$, to znamená pokud je prvek $x$ v relaci sám se sebou. (Samozřejmě, že první $x$ pochází z množiny $A$ a druhé $x$ pochází z $B$. Mohou to být stejné množiny.)

Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní je "je vyšší". Neplatí, že (já "je vyšší"(než) já).

• antisymetrická pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $x)$, pak platí $x = y$.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Operace

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace - jejich výsledkem je opět relace

• Inverzní relace k relaci R je taková relace R_-1 (R^-1) mezi množinami B a A, obsahující právě ty [y,x] ? B × A, že [x,y] ? R.
• Relace složená z relací R a S je relace $T = S \circ R$ (R složeno s S) z množiny A do množiny C, která obsahuje právě taková [x,z] ? A × C, pro něž existuje takový prvek y v množině B, že [x,y] ? R a [y,z] ? S, tedy

$R \circ S = \{[x,z]; \exists y \in B: [x,y] \in R \and [y,z] \in S\}$

• Průnik relací R a S je relace R?S obsahující pouze takové uspořádané dvojice, které se nacházejí současně v obou relacích. Tedy R?S = {[x,y]; [x,y]?R ? [x,y]?S}
• Sjednocení relací R a S je relace R?S obsahující takové uspořádané dvojice, které se nacházejí alespoň v jedné z relací. Tedy R?S = {[x,y]; [x,y]?R ? [x,y]?S}