Obor hodnot

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Funkce \scriptstyle f zobrazuje množinu \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. Žlutý ovál uvnitř \scriptstyle Y je obraz množiny \scriptstyle X při zobrazení \scriptstyle f. V tomto případě není pokryta celá množina \scriptstyle Y a některé body z \scriptstyle Y nelze získat jako obraz bodu z množiny \scriptstyle X při zobrazení \scriptstyle f.

Mějme nějakou funkci, nebo obecněji libovolné zobrazení \scriptstyle T z množiny \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. Pak množina těch prvků \scriptstyle y z \scriptstyle Y, pro něž existuje prvek \scriptstyle x z \scriptstyle X takový, že \scriptstyle T (x) = y, nazýváme oborem hodnot zobrazení \scriptstyle T. Méně formálně je obor hodnot zobrazení \scriptstyle T množina všech hodnot, kterých zobrazení \scriptstyle T nabývá. Obor hodnot zobrazení  \scriptstyle T: X \rightarrow Y značíme \scriptstyle \mathcal{H}_T, \scriptstyle \mathcal{H}(T),  \scriptstyle T(\mathcal{A}),  \scriptstyle \mathcal{R}(T),  \scriptstyle \mathcal{R}_T popř. \scriptstyle \text{Ran}(T). Posledně jmenovaný symbol je zkratkou z anglického názvu pro obor hodnot (range[pozn. 1]) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci pak lze obor hodnot zapsat jako

\mathcal{H}_T = \{ y \in Y | (\exists x \in X)(T (x) = y)\}.

Jinak řečeno, uvažujme definiční obor \scriptstyle \mathcal{D}_T nějakého zobrazení \scriptstyle T. Pak obraz tohoto definičního oboru při zobrazení \scriptstyle T je obor hodnot zobrazení \scriptstyle T. Neboli

 \mathcal{H}_T = T (\mathcal{D}_T).

Pro obor hodnot zobrazení \scriptstyle T: X \to Y zjevně platí

\mathcal{H}_T \subseteq Y.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce sinus \scriptstyle \sin: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} nabývá pouze hodnot mezi -1 a 1, a proto je její obor hodnot \scriptstyle \mathcal{H}(\sin) interval  \scriptstyle \left \langle -1, 1 \right \rangle.
  • Oborem hodnot absolutní hodnoty čísla jsou všechna nezáporná reálná čísla.
  • Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažme například zobrazení \scriptstyle T, které vezme číslo \scriptstyle a \in \mathbb{R} a vrátí zobrazení \scriptstyle f(x) = \exp(a x). Neboli
T: \mathbb{R} \to \mathcal{C},

kde \scriptstyle \mathcal{C} označuje množinu spojitých funkcí definovaných na \scriptstyle \mathbb{R}. Hodnotou zobrazení \scriptstyle T je tedy opět nějaké zobrazení \scriptstyle f, které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj. \scriptstyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+.

Názvosloví[editovat | editovat zdroj]

Mějme zobrazení \scriptstyle T: X \to Y. V závislosti na tom, zda zobrazení \scriptstyle T při svém působení na množinu \scriptstyle X vyčerpá všechny prvky množiny \scriptstyle Y, nebo ne, se zavádí následující názvosloví:

  • Pokud pro každý prvek \scriptstyle y množiny \scriptstyle Y existuje prvek \scriptstyle x z množiny \scriptstyle X takový, že \scriptstyle T(x) = y, tak nazýváme zobrazení \scriptstyle T surjektivní zobrazení, neboli říkáme, že zobrazení \scriptstyle T zobrazuje množinu \scriptstyle X na množinu \scriptstyle Y.
  • Pokud naopak existuje prvek \scriptstyle y z množiny \scriptstyle Y, pro něž nenajdeme jeho vzor v množině \scriptstyle X, tak říkáme, že zobrazení \scriptstyle T zobrazuje množinu \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. Tomuto případu odpovídá situace na obrázku. Tam je žlutou barvou vyznačen obor hodnot zobrazení (funkce) \scriptstyle f, zatímco modrou barvou jsou vyznačeny ty prvky množiny \scriptstyle Y, pro něž neexistuje odpovídající \scriptstyle x \in X, pro které by platilo \scriptstyle T(x) = y. Uvedeného pojmu zobrazovat do množiny se užívá i případě, kdy se nestaráme o to, zda \scriptstyle T skutečně nepokryje celou množinu \scriptstyle Y a připouštíme tak obě možnosti, tj. i tu, kdy je zobrazení \scriptstyle T surjektivní.

Speciální druhy oboru hodnot[editovat | editovat zdroj]

Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Buď \scriptstyle M množina vybavená mírou \scriptstyle \mu a nechť \scriptstyle f je nějaká komplexní funkce definovaná na \scriptstyle M, tj. \scriptstyle f: M \to \mathbb{C}. Pak pod pojmem esenciální obor hodnot funkce \scriptstyle f rozumíme množinu

R_\text{ess}(f) = \{ \lambda \in \mathbb{C} | (\forall \epsilon > 0)(\mu (M_\epsilon (\lambda)) > 0)\}, \quad \text{kde} \quad M_\epsilon (\lambda) = \{ x \in M | \ |f(x) - \lambda| < \epsilon\}.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. V angličtině se pro množinu \scriptstyle Y obvykle užívá pojmu codomain, v češtině tato množina nemá žádný zvláštní název. Obor hodnot zobrazení se pak anglicky nazývá range, ačkoli občas se lze setkat s tím, že za range je považována celá množina \scriptstyle Y a obor hodnot zobrazení se pak označuje jako image. Pojem image je v širším kontextu však obecnější, jeho český ekvivalent je obraz množiny.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha : Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6.  

Související články[editovat | editovat zdroj]