Kartézský součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ilustrace kartézského součinu A \times B množin A=\{x,y,z\} a B=\{1,2,3\}

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin X a Y je množina, označená X \times Y, která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny X a druhá položka je prvkem množiny Y. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulaci analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

X \times Y = \{ (x,y) : x \isin X \and y \isin Y \}

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel \mathbb{R} se sebou samou vznikne rovina  \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\! , což je možno psát jako \mathbb{R}^2 („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí (x,y) : x,y \isin \mathbb{R}, viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n = \{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_i \isin X_i , 1 \leq i \leq n \}

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množinmohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina (A \times B = \emptyset), pak je A = \emptyset nebo B = \emptyset.

Nekonečný součin[editovat | editovat zdroj]

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}

Zde I je množina indexů, \{ X_i : i \isin I \} je množina operandů (množin), indexovaná prvky I.

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z I do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde (x_1, x_2, \ldots) odpovídá takové funkci f, u které f(1) = x_1, f(2) = x_2, \ldots

Význam kartézského součinu[editovat | editovat zdroj]

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině X jsou určité podmnožiny X \times X, operace na množině jsou určité podmnožiny X \times X \times X.

Související články[editovat | editovat zdroj]