Prázdná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Prázdná množina je v matematice množina, která neobsahuje žádné prvky. Značí se obvykle symbolem přeškrtnuté nuly \emptyset, někdy psané též jako \varnothing, popř. ∅, anebo symbolem prázdných množinových závorek {}.

Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá označována jako neprázdná množina.

Formální zavedení v teorii množin[editovat | editovat zdroj]

V dnes nejčastěji používaném axiomatickém systému Zermelově-Fraenkelově teorii množin se existence prázdné množiny dokazuje ze schématu axiomů vydělení a axiomu existence (existuje alespoň jedna množina) formulí

pro množinu x definujme \emptyset:=\{y\in x;\, y\neq y\}.

Z axiomu extenzionality pak plyne, že prázdná množina je jediná, t.j. libovolné dvě prázdné množiny jsou si rovny.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny:
    A: ∅ ⊆ A
  • Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění:
    A: ∅ ∪ A = A
  • Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
    A: ∅ ∩ A = ∅
  • Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
    A: ∅ × A = A × ∅ = ∅
  • Jedinou (a to nevlastní) podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina; žádné vlastní podmnožiny prázdná množina nemá:
    A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
  • Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná:
    |∅| = 0

Prázdná množina jako topologický prostor je zároveň otevřená, uzavřená a kompaktní.

Součet prvků prázdné množiny se obvykle definuje jako 0, součin prvků prázdné množiny jako 1, supremum prázdné množiny reálných čísel jako -\infty a infimum jako \infty.

Vysvětlení některých vlastností[editovat | editovat zdroj]

Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Univerzální kvantifikátor pro každý prvek platí je u prázdné množiny vždy splněn, jak plyne z elementárních pravidel logiky.

Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina. Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je prázdnou množinou).

Aplikací tohoto faktu je množinové zavedení přirozených čísel (0 je reprezentována ∅, 1 jako {∅} a n jako množina \{0, 1, \ldots, n-1\}).

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • ŠTĚPÁNEK, Petr; BALCAR, Bohuslav. Teorie množin. Praha : Academia, 2005. ISBN 80-200-0470-X.  

Související články[editovat | editovat zdroj]