Symetrická diference

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Venn0110.svg
Vennův diagram pro  A \triangle B ,

Symetrický rozdíl množin je
Sjednocení bez průsečíku množin
Venn0111.svg ~\setminus~ Venn0001.svg ~=~ Venn0110.svg

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

A\,\triangle\,B

nebo

A \div B

nebo

A \ominus B.

Například symetrická diference množin \{1,2,3\} a \{3,4\} je množina \{1,2,4\}. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina každé množiny se stane abelovou grupou při symetrické diferenci s prázdnou množinou, protože neutrální prvek grupy a každý další prvek v této grupě je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlatnosti[editovat | editovat zdroj]

Venn 0110 1001.svg
Vennův diagram pro A \triangle B \triangle C

Venn 0110 0110.svg ~\triangle~ Venn 0000 1111.svg ~=~ Venn 0110 1001.svg

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

A\,\triangle\,B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A)

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

A\,\triangle\,B = (A \cup B) \smallsetminus (A \cap B)

nebo pomocí operace XOR:

A\,\triangle\,B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.

Zvláště pak platí, že:

A\triangle B\subseteq A\cup B.

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

A\,\triangle\,B = B\,\triangle\,A,\,
(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C = A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C).\,

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

A \cap (B\,\triangle\,C) = (A \cap B)\,\triangle\,(A \cap C),

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.