Potenční množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Potenční množina množiny X \,\! (značí se  \mathcal{P}(X) \,\! nebo též 2^X \,\! ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny X \,\! .

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  •  A = \{ 1,2,3 \} \,\!
  •  \mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\!

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
 (\forall X)( \emptyset \isin \mathcal{P}(X)) \,\!

Potenční množina množiny  X \,\! obsahuje  X \,\! jako svůj prvek, tj.
 (\forall X)(X \isin \mathcal{P}(X)) \,\!

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou \subseteq \,\! . Toto uspořádání není lineární - například množiny  \{ 1,3 \} \,\! a  \{ 2,3 \} \,\! z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud je  X \,\! konečná množina a její mohutnost je  |X| = n \,\! , pak mohutnost její potenční množiny je  |\mathcal{P}(X)| = 2^n \,\! .
  • Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost  \mathcal{P}(X) \,\! je ostře větší, než mohutnost  X \,\! . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost  \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \,\! je ostře větší, než mohutnost  \mathcal{P}(X) \,\! atd.

Související články[editovat | editovat zdroj]