Potenční množina

Potenční množina množiny $X \,\!$ (značí se $\mathcal{P}(X) \,\!$ nebo též $2^X \,\!$) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny $X \,\!$.

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad

• $A = \{ 1,2,3 \} \,\!$
• $\mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\!$

Vlastnosti

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
$(\forall X)( \emptyset \isin \mathcal{P}(X)) \,\!$

Potenční množina množiny $X \,\!$ obsahuje $X \,\!$ jako svůj prvek, tj.
$(\forall X)(X \isin \mathcal{P}(X)) \,\!$

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ $\subseteq \,\!$. Toto uspořádání není lineární - například množiny $\{ 1,3 \} \,\!$ a $\{ 2,3 \} \,\!$ z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny

• Pokud je $X \,\!$ konečná množina a její mohutnost je $|X| = n \,\!$, pak mohutnost její potenční množiny je $|\mathcal{P}(X)| = 2^n \,\!$.
• Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost $\mathcal{P}(X) \,\!$ je ostře větší, než mohutnost $X \,\!$. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \,\!$ je ostře větší, než mohutnost $\mathcal{P}(X) \,\!$ atd.

Související články

• Axiom potenční množiny
• Potenční algebra
• Filtr
• Svaz