Kardinální číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 18741884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní.

Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.

Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval \aleph_0 (alef 0).

Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, kardinál kontinua, dnes běžně značený c. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (\aleph_0) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots).

Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = \aleph_1. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Ordinální číslo  \alpha \,\! nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo  \beta < \alpha \,\! má i menší mohutnost (tj.  \alpha \,\! nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu  \beta \,\! ). Označíme-li jako  Cn \,\! třídu všech kardinálních čísel a  On \,\! třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:  \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha))

Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety  \kappa, \lambda, \mu \,\! , aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety:  \alpha, \beta, \gamma \,\!

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti[editovat | editovat zdroj]

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace  \approx \,\! (viz článek mohutnost).
Je-li  x \,\! množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál  \lambda \,\! , říkáme, že  \lambda \,\! je mohutnost množiny  x \,\! a píšeme  |x| = \lambda \,\! .
Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

  1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
  2. Množina  \omega \,\! všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
  3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
  4. Třída  Cn \,\! všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou  On \,\! všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme,  \omega \,\! . Pokusme se najít nějaký další:

  • ordinální čísla  \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál  \omega \,\!
  • ordinální čísla  \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! jsou stále spočetná
  • ordinální čísla  \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! jsou stále spočetná
  • ordinální čísla  \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! jsou stále spočetná
  • dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako  \epsilon_0 \,\! ) je stále spočetné

Jak je vidět, za  \omega \,\! následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef[editovat | editovat zdroj]

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů  Cn - \omega \,\! – také existuje izomorfismus mezi ní a  On \,\! .
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena  \aleph \,\! .

  •  \aleph_0 = \omega je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
  •  \aleph_1 je nejmenší nespočetný kardinál
  • pro každý ordinál  \alpha \,\! existuje kardinál  \aleph_{\alpha} , má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály  \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127}

Dá se ukázat, že funkce  \aleph \,\! je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě  On \,\! nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s  On \,\! .

Aplikováno konkrétně na funkci  \aleph \,\! : existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů  \alpha \,\! , pro které platí, že  \alpha = \aleph_\alpha .

Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání  \aleph_1 \,\! v předchozím oddílu, vidíme, že funkce  \aleph \,\! má opravdu podivné vlastnosti:

  • na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota –  \aleph_1 \,\! je hodně daleko od její první hodnoty  \aleph_0 \,\! )
  • na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí  Id: Id(\alpha) = \alpha \,\! – v takovýchto pevných bodech platí  \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\!

Kardinální aritmetika[editovat | editovat zdroj]

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články[editovat | editovat zdroj]