Úplný svaz

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Množinu  X \,\! uspořádanou relací  R \,\! nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
 ( \forall Y \subseteq X) (\exist i,s \isin X) ( i = inf_R(Y) \and s = sup_R(Y) ) \,\!

Příklady a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené, hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebry[editovat | editovat zdroj]

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy  X = \mathbb{P}(X_0) \,\! potenční množina a  Y \subseteq X \,\! je nějakou množinou podmnožin  X_0 \,\!

  •  inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\!
  •  sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\!

Svazy, které nejsou úplné[editovat | editovat zdroj]

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny  X \,\! ).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných čísel[editovat | editovat zdroj]

O reálných číslech  \mathbb{R} \,\! víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z  \mathbb{R} \,\! jejich rozšířením o dva prvky:  +\infty \,\! je větší, než všechny čísla z  \mathbb{R} \,\! a  -\infty \,\! je menší, než všechna čísla z  \mathbb{R} \,\! . (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že  -\infty < +\infty  \,\! ).

Získali jsme množinu  \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! , která již je úplný svaz:

  • omezené množiny z  \mathbb{R} \,\! mají supremum a infimum v  \mathbb{R} \,\!
  • zdola neomezená množina z  \mathbb{R} \,\! má infimum  -\infty \,\!
  • shora neomezená množina z  \mathbb{R} \,\! má supremum  +\infty \,\!
  • množina obsahující  -\infty \,\! má infimum  -\infty \,\!
  • množina obsahující  +\infty \,\! má supremum  +\infty \,\!

Související články[editovat | editovat zdroj]