Úplný svaz

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Definice

Množinu $X \,\!$ uspořádanou relací $R \,\!$ nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
$( \forall Y \subseteq X) (\exist i,s \isin X) ( i = inf_R(Y) \and s = sup_R(Y) ) \,\!$

Příklady a vlastnosti

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené, hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebry

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy $X = \mathbb{P}(X_0) \,\!$ potenční množina a $Y \subseteq X \,\!$ je nějakou množinou podmnožin $X_0 \,\!$

• $inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\!$
• $sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\!$

Svazy, které nejsou úplné

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny $X \,\!$).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných čísel

O reálných číslech $\mathbb{R} \,\!$ víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z $\mathbb{R} \,\!$ jejich rozšířením o dva prvky: $+\infty \,\!$ je větší, než všechny čísla z $\mathbb{R} \,\!$ a $-\infty \,\!$ je menší, než všechna čísla z $\mathbb{R} \,\!$. (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že $-\infty < +\infty \,\!$ ).

Získali jsme množinu $\mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\!$, která již je úplný svaz:

• omezené množiny z $\mathbb{R} \,\!$ mají supremum a infimum v $\mathbb{R} \,\!$
• zdola neomezená množina z $\mathbb{R} \,\!$ má infimum $-\infty \,\!$
• shora neomezená množina z $\mathbb{R} \,\!$ má supremum $+\infty \,\!$
• množina obsahující $-\infty \,\!$ má infimum $-\infty \,\!$
• množina obsahující $+\infty \,\!$ má supremum $+\infty \,\!$

Související články

• Svaz
• Potenční algebra
• Reálná čísla
• Dedekindův řez