Konstruovatelná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Konstruovatelná množina je matematický pojem z oblasti teorie množin. Používá se pro označení „slušně se chovajících“ množin v tom smyslu, že je lze pomocí několika základních množinových operací získat transfinitní rekurzí z prázdné množiny.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Konstruovatelné množiny jsou definovány pomocí několika pomocných pojmů - pro přehlednost se tento článek neodkazuje na samostatné články pro jednotlivé pojmy, ale zavádí je všechny zde:

Uzavřenost na základní operace[editovat | editovat zdroj]

Označme symboly  F_1, F_2, \ldots, F_7 \,\! následující množinové funkce:

  •  F_1(x) = Dom(x) \,\!
  •  F_2(x) = \{ [a,b] \isin x : a \isin b \} \,\!
  •  F_3(x) = \{ [a,b] : [b,a] \isin x \} \,\!
  •  F_4(x) = \{ [a,b,c] : [a,c,b] \isin x \} \,\!
  •  F_5(x,y) = \{x,y \} \,\!
  •  F_6(x,y) = x - y \,\!
  •  F_7(x,y) = x \times y \,\!

Funkce F_1, \ldots, F_7 se nazývají základní operace či gödelovské operace. Řekneme, že množina  S \,\! je uzavřená na základní operace, pokud s každými dvěma množinami obsahuje i jejich obrazy podle výše uvedených sedmi funkcí, tj.
( \forall x,y \isin S ) ( F_1(x), F_2(x), F_3(x), F_4(x), F_5(x,y), F_6(x,y), F_7(x,y) \isin S)

Uzávěr na základní operace[editovat | editovat zdroj]

Máme-li množinu  S \,\! , definujme posloupnost množin  S_0, S_1, \ldots, \,\! takto:

  •  S_0 = S \,\!
  •  S_{n+1} = S_n \cup \{ x: (\exist u,v \isin S_n)( x \isin \{ F_1(u), F_2(u), F_3(u), F_4(u), F_5(u,v), F_6(u,v), F_7(u,v) \} ) \} \,\!

Definujme uzávěr množiny S na základní operace jako:
 Df(S) = \bigcup \{ S_n : n < \omega \}

Vypadá to sice hrozivě, ale není na tom nic tak strašného - přeříkáno „po lidsku“ je uzávěr množina, která k prvkům původní množiny  S \,\! přidá všechny výsledky libovolně nakombinovaných základních operací provedených pro prvky z  S \,\! .
Není příliš složité si uvědomit, že uzávěr je množina uzavřená na základní operace, a že je to nejmenší taková nadmnožina pro  S \,\! . Speciálně: pokud je  S \,\! uzavřená na základní operace, platí  Df(S) = S \,\! , to znamená, že množina uzavřená na základní operace je sama sobě uzávěrem.

Na závěr ještě označme  Df^+(S) = Df(S \cup \{ S \}) \cap \mathbb{P}(S)
Důvodem této (čistě pomocné) definice je, že při vytváření konstruovatelných množin nás nebudou zajímat uzávěry jako takové, ale pouze ty prvky uzávěru, které jsou podmnožinou původní množiny.

Konstruovatelné množiny[editovat | editovat zdroj]

Definujme transfinitní rekurzí množinové zobrazení  L \,\! pro všechna ordinální čísla  \alpha \,\! takto:
 L_0 = \emptyset \,\!, t.j. prázdná množina

  •  L_{\alpha + 1} = Df^+(L_{\alpha}) \,\! , t.j. „modifikovaný“ uzávěr předchozího člena posloupnosti
  •  L_{\alpha} = \bigcup \{ L_{\beta} : \beta < \alpha \} \,\! pro limitní ordinál  \alpha \,\!

Třída konstruovatelných množin  \mathbb{L} je definována jako:
 \mathbb{L} = \bigcup L_{\alpha}
Její prvky nazýváme konstruovatelné množiny.

Motivace a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Nabízí se otázka, co jsme to vlastně nadefinovali.
Představme si třídu všech ordinálních čísel  On \,\! jako nekonečně vysoký sloup nebo kmen nekonečně vysokého stromu - s ohledem na to, že je tato třída dobře uspořádaná, není tato představa úplně od věci.
Třída  \mathbb{L} přidává k tomuto kmeni patro po patru nějaké větve a listy a to tak, aby výsledek byl smysluplný (t.j. pokud a,b leží uvnitř stromu, tak tam leží i {a,b} nebo a  \cup b), ale zároveň co nejmenší - přidám vždy jen to nejnutnější.

Jiným příkladem konstrukce takového stromu, která si zdaleka nedává takový pozor na to, kolik toho přidá (a vytváří tedy mnohem širší a rozsochatější strom), je konstrukce fundovaného jádra, se kterým je  \mathbb{L} porovnávána v následujícím odstavci.

Srovnání s fundovaným jádrem[editovat | editovat zdroj]

Konstrukce třídy konstruovatelných množin  \mathbb{L} nápadně připomíná konstrukci fundovaného jádra  \mathbb{WF} . Podstatný rozdíl je v tom, že zatímco v případě fundovaného jádra je další vrstva tvořena pomocí potenční množiny předchozí vrstvy, v případě  \mathbb{L} si vybírám pouze velice malou část potenční množiny. Snadno se dá ukázat, že
 |L_{\omega + 1}| = \omega \,\!
zatímco pro vrstvu fundovaného jádra je
 |V_{\omega + 1}| = 2^{\omega} > \omega \,\!

V této analogii můžeme jít ještě dál:
Axiom fundovanosti v podstatě tvrdí (následující tvrzení je s ním ekvivalentní), že
 \mathbb{WF} = \mathbb{V} - každá množina patří do fundovaného jádra.
Obdobně axiom konstruovatelnosti tvrdí, že
 \mathbb{L} = \mathbb{V} - každá množina patří do třídy konstruovatelných množin (nebo jinak: každá množina je konstruovatelná).

Z definice \mathbb{L} přímo plyne  \mathbb{L} \subseteq \mathbb{WF} .

Vnitřní model teorie množin[editovat | editovat zdroj]

Axiom konstruovatelnosti je bezesporný s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin a je dokonce nezávislý - i jeho negace  \mathbb{L} \neq \mathbb{V} je bezesporná s axiomy ZF.

Důvodem, proč je axiom fundovanosti součástí standardní axiomatiky ZF, zatímco axiom konstruovatelnosti nikoliv, je přílišná „síla“ axiomu konstruovatelnosti, který příliš zjednodušuje strukturu světa teorie množin.
Z axiomu konstruovatelnosti mimo jiné vyplývá axiom výběru (dokonce jeho silná verze) a také zobecněná hypotéza kontinua.

Třída konstruovatelných množin tvoří vnitřní model teorie množin - platí na ní všechny axiomy teorie množin (přesněji podoba těchto axiomů relativizovaná do  \mathbb{L} . Je to tedy vhodný nástroj pro testování nezávislosti a bezespornosti různých hypotéz - pokud totiž nějaká hypotéza platí v modelu  \mathbb{L} , pak je bezesporná s axiomy ZF.

Související články[editovat | editovat zdroj]