Doplněk množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Doplněk množiny A v U:
A^c=U \smallsetminus A

V matematice se pojmy doplněk množiny A nebo komplement množiny A označuje množina A^C všech prvků, které nejsou v A a přitom v nějaké jiné (předem dané) množině jsou obsaženy (na obrázku v U). Aby bylo možné doplněk definovat, je třeba znát množinu, vzhledem ke které se doplněk počítá.

Místo A^c se někdy užívá značení A' nebo -A.



Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Máme-li množinu U a její podmnožinu A, definujeme doplněk množiny A vzhledem k množině U jako A^C=\{x \mid x \in U \wedge x\not\in A\}. Tedy A^C obsahuje všechny prvky, které jsou v U, ale nejsou v A.

Pokud máme pevně danou univerzální množinu U, můžeme zkráceně hovořit jen o "doplňku A".

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Pokud U=\{a,b,c\} je univerzální množina a A=\{b\}, je A^C=\{a,c\}

Pokud za univerzální množinu vezmeme množinu všech přirozených čísel bez nuly, doplňkem všech lichých čísel je množina všech sudých čísel. Doplňkem množiny \{1,2\} je pak množina všech přirozených čísel větších než 2.

Pokud jsou univerzální množinou reálná čísla, je doplňkem všech algebraických čísel množina všech transcendentních čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Následující pravidla uvádí několik základních vlastností doplňku množiny. Mějme univerzální množinu U a její podmnožiny A, B

      • A  AC  =  U
      • A  AC  =  Ø
      • ØC  =  U
      • UC  =  Ø
      • Pokud AB, pak BCAC
      • ACC  =  A.
De Morganova pravidla:
      • (A ∪ B)C = AC ∩ BC
      • (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Související články[editovat | editovat zdroj]