Transfinitní indukce

Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.

Věty o transfinitní indukci

Zatímco princip matematické indukce je považován za natolik samozřejmý, že je uváděn jako součást Peanovy axiomatiky přirozených čísel, v případě transfinitní indukce se jedná o věty (i když s poměrně snadným důkazem), které poskytují návod, jak při důkazu postupovat:

Verze první

Je-li X třída ordinálních čísel, pro kterou platí, že každou svou podmnožinu obsahuje zároveň jako prvek, pak je X shodná s třídou On všech ordinálních čísel.
$(X \subseteq On \and ( \forall \alpha \isin On)(\alpha \subseteq X \implies \alpha \isin X)) \implies X = On$

Verze druhá

Pokud je X třída ordinálních čísel, která obsahuje prázdnou množinu, s každým ordinálem $\alpha \,\!$ zároveň ordinál $\alpha + 1 \,\!$ a pro každý limitní ordinál $\alpha \,\!$, který je podmnožinou X platí, že $\alpha \,\!$ je zároveň prvkem X, pak tato třída X obsahuje všechna ordinální čísla, tj. X = On
Jinými slovy pokud platí následující čtyři podmínky, pak X = On:

1. $X \subseteq On$
2. $\emptyset \isin X$
3. $( \forall \alpha \isin On)(\alpha \isin X \implies \alpha \cup \{ \alpha \} \isin X)$
4. pro každý limitní ordinál $\alpha \,\!$ platí $\alpha \subseteq X \implies \alpha \isin X$

Příklad použití

Transfinitní indukce se používá při důkazu značného množství vět z ordinální aritmetiky, mimo jiné například při důkazu, že mocnění na ordinálních číslech je rozšířením mocnění na přirozených číslech:

1. $( \forall \alpha,\beta,\gamma \isin On) ( \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^\beta . \alpha^\gamma)$
2. $( \forall \alpha,\beta,\gamma \isin On) ( \alpha^{\beta.\gamma} = (\alpha^\beta)^\gamma)$

Důsledkem principu transfinitní indukce je princip transfinitní rekurze, tj. možnost jednoznačně definovat zobrazení na ordinálních číslech předpisem, který využívá pro výpočet $\alpha \,\!$-té hodnoty hodnot pro ordinální čísla menší než $\alpha \,\!$. (Je tomu obdobně, jako u běžného aritmetického principu matematické indukce, ze kterého vyplývá možnost používat rekurzi na přirozených číslech.)

Související články

• Transfinitní rekurze
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Teorie množin
• Peanova aritmetika
• Matematická indukce
• Fundovaná indukce