Transfinitní indukce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.

Věty o transfinitní indukci[editovat | editovat zdroj]

Zatímco princip matematické indukce je považován za natolik samozřejmý[zdroj?], že je uváděn jako součást Peanovy axiomatiky přirozených čísel, v případě transfinitní indukce se jedná o věty (i když s poměrně snadným důkazem), které poskytují návod, jak při důkazu postupovat:

Verze první[editovat | editovat zdroj]

Je-li X třída ordinálních čísel, pro kterou platí, že každou svou podmnožinu obsahuje zároveň jako prvek, pak je X shodná s třídou On všech ordinálních čísel.
 (X \subseteq On \and ( \forall \alpha \isin On)(\alpha \subseteq X \implies \alpha \isin X)) \implies X = On

Verze druhá[editovat | editovat zdroj]

Pokud je X třída ordinálních čísel, která obsahuje prázdnou množinu, s každým ordinálem  \alpha \,\! zároveň ordinál  \alpha + 1 \,\! a pro každý limitní ordinál  \alpha \,\! , který je podmnožinou X platí, že  \alpha \,\! je zároveň prvkem X, pak tato třída X obsahuje všechna ordinální čísla, tj. X = On
Jinými slovy pokud platí následující čtyři podmínky, pak X = On:

  1.  X \subseteq On
  2.  \emptyset \isin X
  3.  ( \forall \alpha \isin On)(\alpha \isin X \implies \alpha \cup \{ \alpha \} \isin X)
  4. pro každý limitní ordinál  \alpha \,\! platí  \alpha \subseteq X \implies \alpha \isin X

Příklad použití[editovat | editovat zdroj]

Transfinitní indukce se používá při důkazu značného množství vět z ordinální aritmetiky, mimo jiné například při důkazu, že mocnění na ordinálních číslech je rozšířením mocnění na přirozených číslech:

  1.  ( \forall \alpha,\beta,\gamma \isin On) ( \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^\beta . \alpha^\gamma)
  2.  ( \forall \alpha,\beta,\gamma \isin On) ( \alpha^{\beta.\gamma} = (\alpha^\beta)^\gamma)

Důsledkem principu transfinitní indukce je princip transfinitní rekurze, tj. možnost jednoznačně definovat zobrazení na ordinálních číslech předpisem, který využívá pro výpočet  \alpha \,\! -té hodnoty hodnot pro ordinální čísla menší než  \alpha \,\! . (Je tomu obdobně, jako u běžného aritmetického principu matematické indukce, ze kterého vyplývá možnost používat rekurzi na přirozených číslech.)

Související články[editovat | editovat zdroj]