Ordinální aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Ordinální čísla a jejich vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinu[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li  \alpha \,\! a  \beta \,\! dvě ordinální čísla, pak:

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací  \isin izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

Součet 3 + 2:
 ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) =
 ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) =
 \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} =
 \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet  1 + \omega_0 \,\! (jako  \omega_0 \,\! se značí množina všech přirozených čísel)
 ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) =
 ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) =
 \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} =
 \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je  \omega_0 \,\!, takže  1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat  \omega_0 + 1 \,\!. Dojde k překvapivému zjištění:
 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!

Příklady součinu dvou ordinálních čísel[editovat | editovat zdroj]

Součin 3.2:
 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} =
 \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin  2.\omega_0 \,\!
:  \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\!
 \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\!
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je  \omega_0 \,\!.

Obrátím-li poslední příklad na  \omega_0 . 2 \,\!, dostávám množinu
 \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!,
jejímž typem již není  \omega_0 \,\!, ale větší ordinální číslo  \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!

Rozhodně opět  2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! .

Vlastnosti ordinálního součtu a součinu[editovat | editovat zdroj]

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:
 ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma)
Opačně to ale neplatí, protože například:  (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

  •  \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!
  •  \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!
  •  \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!
  •  \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!
  •  \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály  \alpha, \beta, \beta > 0 \,\! existují  \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\! takové, že
 \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!

Definice ordinální mocniny[editovat | editovat zdroj]

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

  1.  \alpha^0 = 1 \,\!
  2.  \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!
  3. pro limitní ordinál  \beta \,\! je  \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\! - sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací  \isin

Vlastnosti ordinální mocniny[editovat | editovat zdroj]

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

  •  0^0 = 1 \,\!
  •  0^{\alpha} = 0 \,\! pro  \alpha > 0 \,\!
  •  1^{\alpha} = 1 \,\!
  •  \alpha^1 = \alpha \,\!
  •  \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!

A především:

  •  \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!
  •  (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!

Mocninný rozvoj ordinálního čísla[editovat | editovat zdroj]

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ  \omega_0 \,\! - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li  \omega = \omega_0 \,\! množina přirozených čísel a  \alpha \,\! libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla  k, m_0, m_1,...,m_k \,\! a ordinály  \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\! takové, že platí:
 \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla \,\alpha v Cantorově normálním tvaru platí \alpha\geq\beta_0, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když \,\alpha=\omega^\alpha. Takových \,\alpha existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá \varepsilon_0. Pro \,\alpha<\varepsilon_0 tedy je \,\alpha>\beta_0, což umožňuje často používanou metodu dokazování - takzvanou indukci do epsilon nula.

Související články[editovat | editovat zdroj]