Lexikografické uspořádání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lexikografické uspořádání neboli slovníkové řazení je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který formalizuje vlastnosti uspořádání „podle abecedy“ pro potřeby práce s uspořádanými množinami.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že množina  X \,\! je uspořádána relací  R \,\! .
Lexikografické uspořádání množiny všech uspořádaných dvojic z kartézského součinu  X \times X = \{ [a,b] : a,b \isin X \} \,\! podle relace  R \,\! je definováno vztahem
 [a,b] \leq_{Le} [c,d] \Leftrightarrow ( a <_R c \vee (a = c \and b \leq_R d)) .

Obecněji lze lexikografické uspořádání zavést pro uspořádané n-tice z  X \,\! , tj. na množině  X^n = \{ [a_1,a_2,\ldots,a_n] : a_i \isin X \} \,\! pomocí vztahu

 [a_1,a_2,\ldots,a_n] \leq_{Le} [b_1,b_2,\ldots,b_n] \Leftrightarrow \,\!
 (a_1 <_R b_1) \vee \,\!
 (a_1 = b_1 \and a_2 <_R b_2) \vee \,\!
 (a_1 = b_1 \and a_2 = b_2 \and a_3 <_R b_3) \vee \,\!
 \dots \,\!
 (a_1 = b_1 \and a_2 = b_2 \and \ldots \and a_{n-1} = b_{n-1} \and a_n \leq_R b_n) \,\!

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Lexikografické uspořádání není přes svou nepřehlednou definici nic záhadného - odpovídá přesně tomu, co rozumíme pod pojmem „uspořádání podle abecedy“.
Pokud vezmeme jako množinu X seznam znaků nějaké abecedy a jako R uspořádání těchto znaků v abecedě, pak není lexikografické uspořádání nic jiného, než určení pořadí všech slov s nějakou určitou délkou. Pokud bychom navíc definovali způsob, jak porovnat dvě různě dlouhé uspořádané n-tice, můžeme rovnou začít řadit telefonní seznam.

Definice lexikografického uspořádání se ale neomezuje pouze na lineárně uspořádané podkladové množiny. Relace R může být v této definici jakékoliv uspořádání.
Uvažujme na chvilku o množině  X = \{ 1,2,3,4 \} \,\! a jejím uspořádání  R = \{ [1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[1,3],[2,4],[1,4],[2,3] \} \,\! .
Relace R je uspořádání, takže k ní můžeme definovat lexikografické uspořádání množiny všech uspořádaných trojic z  X^3 = X \times X \times X \,\! .
Protože prvky 1 a 2 nejsou porovnatelné podle  R \,\! , dostáváme následující vztahy:

  •  [1,2,4] \leq_{Le} [1,3,1] \,\!
  • trojice  [1,1,1] \,\! a  [2,4,4] \,\! nejsou v lexikografickém uspořádání podle  R \,\! porovnatelné - stačí si dosadit do definice a vidíme, že není splněna ani jedna řádka, které podmiňují porovnatelnost v lexikografickém uspořádání.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Při řešení mnoha matematických problémů se ukazuje jako potřebné „přenést“ uspořádání nějaké množiny i na uspořádané dvojice (nebo obecně n-tice) prvků z této množiny. Lexikografické uspořádání je jednou z možností (i když zdaleka ne vždy tou nejlepší), jak něco takového provést - dobrým příkladem je definice ordinálního součtu a ordinálního součinu.

Související články[editovat | editovat zdroj]