Zobrazení (matematika)

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny jednoznačně prvky obecně jiné množiny. Pojem zobrazení má většinou stejný význam jako pojem funkce. Název funkce se však častěji používá speciálně pro zobrazení do číselných množin.^[zdroj?]

Definice zobrazení

Zobrazení f se definuje

$f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$,

kde $\mathcal{A}$ a $\mathcal{B}$ jsou množiny. První množině se říká definiční obor, značí se často $\mathcal{D}_f$ nebo $\mathrm{dom}(f)\,\!$. Jednoznačnost zobrazení je důležitá a znamená, že každý prvek vzoru se zobrazí na právě jeden prvek v obrazu. Druhá se nazývá obor hodnot.

V teorii množin se zobrazení definuje jako relace R splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

$(\forall x \in \mathrm{dom}(R)) ((\exists y)(\langle x,y \rangle \in R)\ \and\ \forall( y_{1},y_{2})((\langle x,y_{1}\rangle \in R\ \and\ \langle x,y_{2} \rangle \in R)\implies (y_{1}=y_{2})) )$

Pokud je relace R zobrazení, píšeme místo $\langle x,y \rangle \in R$ častěji $\ R(x)=y$. Skutečnost, že se prvek x množiny $\mathcal{A}$ zobrazí na prvek y množiny $\mathcal{B}$, zapisujeme

$y = f(x)\,\!$

Vzor a obraz množiny

Obraz množiny $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ je množina $\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}$, na kterou se zobrazí $\mathcal{X}$, a značíme ji

$\mathcal{Y} = f(\mathcal{X})$

Speciálním případem obrazu je obraz celého definičního oboru, kterému se říká obor hodnot

$\mathcal{R}_f = f(\mathcal{D}_f)$

Vzor množiny $\mathcal{Y}$ je množina $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ obsahující všechny prvky, které se do množiny $\mathcal{Y}$ zobrazí, a značíme ji

$\mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})$

Množina všech vzorů je tedy definičním oborem, množina všech obrazů je oborem hodnot.

Typy zobrazení

Zde jsou uvedeny nejdůležitější typy zobrazení:

• Prosté zobrazení (Injektivní zobrazení) - různým vzorům přiřazuje různé obrazy.
• Zobrazení na (Surjektivní zobrazení) - zobrazuje definiční obor na celou cílovou množinu.
• Bijekce - prosté zobrazení, které je na (ke každému vzoru existuje právě jeden obraz).
• Spojité zobrazení - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
• Identita - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
• Inverzní zobrazení - Je-li $f: A \rightarrow B$ zobrazení, pak inverzní zobrazení je $f^{-1}: B \rightarrow A$ takové, že $\scriptstyle f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b$

Dále následuje přehled několika příkladů zobrazení ze specializovaných oborů matematiky.

• Lineární zobrazení - platí pro něj L(αx + βy) = αL(x) + βL(y), kde α a β jsou prvky daného tělesa a x a y jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
• Operátor - funkci přiřazuje funkci.
• Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy
• Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklad zobrazení

Příklady (popis v článku)

Mějme množiny $\mathcal{A} = \{1, 2, 3, 4\}$ a $\mathcal{B} = \{a, b, c, d\}$. Můžeme napříkad definovat zobrazení $f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ jako

• $1 \rightarrow a$
• $2 \rightarrow c$
• $3 \rightarrow d$
• $4 \rightarrow c$

Oborem hodnot $\mathcal{R}_f = f(\mathcal{A})$ je tedy množina {a,c,d}. Vzorem množiny {c} je množina {2,4}. Jeden prvek v $\mathcal{B}$ tedy může mít více než jeden vzor v $\mathcal{A}$. Ale každý prvek $\mathcal{A}$ se zobrazí na právě jeden prvek v $\mathcal{B}$.

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů $A \rightarrow B$.

• Na a) je příklad kdy se nejedná o zobrazení.
• Na b) je příklad prostého zobrazení množiny A do množiny B.
• Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení A na B.
• Na d) je zobrazení, které není prosté.

Víceznačné zobrazení

Jak vyplývá z uvedene definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymoron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

$\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

$\mathcal{A} \rightarrow 2^\mathcal{B}$^[zdroj?]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

$y = \pm \sqrt{ x }$

Související články

• Binární relace
• Skládání zobrazení