Konečná množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Konečnou množinu lze definovat několika ekvivalentními způsoby:

Výrok „x je konečná množina“ je obvykle zapisován symbolem  Fin(x) \,\! .

Třída všech konečných množin je zapisována symbolem
 Fin = \{x : Fin(x) \} \,\!

Význam[editovat | editovat zdroj]

Bez ohledu na to, kterou definici vybereme, zachycuje pojem konečné množiny intuitivní význam slova konečný - konečné jsou takové soubory prvků, pro které lze určit jejich počet - nějaké přirozené číslo. Tento počet prvků odpovídá u konečných množin obecnějšímu pojmu mohutnost.

Tato možnost přiřadit konečné množině nějaké přirozené číslo jako její počet, znamená, že konečnou množinu lze vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny  \omega \,\! všech přirozených čísel - každá množina je tedy spočetná.

Všechny množiny se na základě pojmu konečnosti a spočetnosti rozpadají do tří kategorií:

  • konečné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na přirozené číslo
  • nekonečné spočetné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech přirozených čísel
  • ostatní - nespočetné

Příklady a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Prázdná množina je konečná.
  • Každé přirozené číslo (ve smyslu množinové definice přirozených čísel) je konečné množina.
  •  \omega \,\! není konečná množina - vezmu-li například první definici, tak předpisem  m = 2.n \,\! lze  \omega \,\! zobrazit na množinu všech sudých čísel, což je její vlastní podmnožina

Pokud platí  Fin(x), Fin(y) \,\! , pak také

Související články[editovat | editovat zdroj]