Ekvivalence (logika)

Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem ⇔ ($\Leftrightarrow \,\!$).

Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci "právě když" nebo také "tehdy a jen tehdy, když" — ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Tomu odpovídá i pravdivostní tabulka této operace.

Pravdivostní tabulka

$A$	$B$	$A \Leftrightarrow B$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Vlastnosti a použití

Ekvivalence je používána v logických výpočtech podobným způsobem, jako relace = v aritmetických výpočtech — takový výpočet je obvykle posloupnost ekvivalencí, jako v následujícím případě:
$(a \vee \neg b) \and (a \vee b) \Leftrightarrow a \vee (\neg b \and b) \Leftrightarrow a \vee 0 \Leftrightarrow a \,\!$

Pravdivostní hodnota ekvivalence je shodná s pravdivostní hodnotou oboustranné implikace, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

• $a \Leftrightarrow b \,\!$
• $(a \implies b) \and (b \implies a) \,\!$

V dvouhodnotové extenzionální logice je pravdivostní hodnota ekvivalence inverzní k pravdivostní hodnotě exkluzivní disjunkce, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

• $a \Leftrightarrow b \,\!$
• $\neg ((a \and \neg b) \vee (\neg a \and b)) \,\!$

Související články

• Booleova algebra
• Konjunkce
• Disjunkce
• Negace
• Implikace
• Existenční kvantifikátor
• Ekvivalence (matematika)