Matematická indukce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o metodě matematického důkazu. O způsobu logického uvažování pojednává článek Logická indukce.

Matematická indukce je metoda dokazování matematických vět a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že platí pro číslo 1, a zároveň lze platnost pro každé dané n převést v konečně mnoha krocích na platnost pro 1 s tím, že počet těchto kroků s rostoucím n také roste.

Princip důkazu indukcí[editovat | editovat zdroj]

Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků:

  • První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n, nikoliv pro n=1, pro které nemusí vždy obecně platit.
  • Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následující bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad).

Princip matematické indukce pak již říká, že tvrzení platí pro každé n.

Často se v prvním kroku dokazuje, že tvrzení platí pro n = 0. Tento způsob je zcela ekvivalentní.

Tento postup se někdy přirovnává k dominu. Obě tyto části jsou totiž podobné dominovému efektu:

  • Spadne první kostka domina.
  • Pokud spadne nějaká kostka domina, spadne i její nejbližší soused.

Výsledkem potom je, že spadnou všechny kostky.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme následující tvrzení: Pro všechna přirozená n platí

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

První krok[editovat | editovat zdroj]

Nejdříve zkontrolujeme, zda tvrzení platí pro n = 1. Je zřejmé že ano, jelikož součet prvních 1 přirozených čísel je 1 a 1(1 + 1)/2=1.

Indukční krok[editovat | editovat zdroj]

Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro n = m, platí i pro n = m + 1. Tj. platí-li tvrzení, píšeme-li v něm všude m místo n, pak platí také píšeme-li v něm všude m + 1 místo n.

Předpokládejme tedy, že pro n = m tvrzení platí, čili

1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}.

Přičtením m + 1 k oběma stranám této rovnice dostaneme

1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m + 1)}{2} + (m+ 1),

což se rovná


= \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2} 
= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2}.

Máme tedy

1 + 2 + \cdots + (m + 1) = \frac{(m + 1)((m + 1) + 1)}{2}.

To je ale přesně tvrzení pro n = m + 1. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro n = m.

Shrnutí[editovat | editovat zdroj]

Tvrzení tedy platí pro všechna přirozená čísla, jelikož:

  • Platí pro 1.
  • Jestliže platí pro 1, platí i pro 2.
  • Jestliže platí pro 2, platí i pro 3.
  • Jestliže platí pro 3, platí i pro 4.

\vdots

Věta o důkazu indukcí[editovat | editovat zdroj]

Myšlenku matematického důkazu indukcí lze formulovat touto matematickou větou:

Buď A \subset \N^0 \,\! množina přirozených čísel, která obsahuje nulu a s každým svým prvkem x obsahuje i x+1. Pak A = \N^0 \,\! .

Související články[editovat | editovat zdroj]