Neutrální prvek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \otimes takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např \cdot, je e často nazýván jednotkovým prvkem (1 \cdot x = x). V případě použití aditivního značení, např. +, je e často nazýván nulovým prvkem (0 + x = x)\!. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Buď A\, množina a \otimes operace na A\,.

  • Prvek e\in A\, se nazývá levý neutrální, právě když \forall x \in A : e \otimes x = x.
  • Prvek e\in A\, se nazývá pravý neutrální, právě když \forall x \in A : x \otimes e = x.
  • Prvek e\in A\, se nazývá neutrální, právě když \forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Jak ukazuje poslední příklad, (A,\otimes) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny A\, je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině A\, levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.[pozn 1]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l \otimes r = r. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Související články[editovat | editovat zdroj]