Neutrální prvek
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací 
takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.
Tzn. 
(levý neutrální prvek) a 
(pravý neutrální prvek).
V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např 
, je e často nazýván jednotkovým prvkem (
). V případě použití aditivního značení, např. + , je e často nazýván nulovým prvkem (
). Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.
[editovat] Formální definice
Buď A množina a operace na A.
- Prvek e z A se nazývá levý neutrální, právě když
.
- Prvek e z A se nazývá pravý neutrální, právě když
.
- Prvek e z A se nazývá neutrální, právě když
.
[editovat] Příklady
- Pokud (A,) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
- Pokud (A,) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
- Pokud (A,) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
- Pokud (A,) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
- Pokud (A,) je množina všech zobrazení z množiny M do sebe sama a je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná
. - Pokud má A pouze dva prvky e a f a operace je definována tak, že
a 
, jsou oba prvky e a f levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
Jak ukazuje poslední příklad, (A,) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny A je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině A levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak 
. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.
