Asociativita

Asociativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace, říkající, že nezáleží na tom, v jakém pořadí operace provádíme, pokud se jich vedle sebe vyskytne více (například násobíme nebo sčítáme tři (čtyři …) čísla).

Je jasné, že asociativní může být jen operace, jejíž výsledek je stejného typu jako její operandy.

Definice

Binární operace * je na množině S asociativní, jestliže platí

(x * y) * z = x * (y * z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady asociativity

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a × b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)

(7 × 3) × 2 = 21 × 2 = 42 = 7 × 6 = 7 × (3 × 2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů na reálných vektorových prostorech, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b), umocňování (a^b).

$2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1$.

$2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3$

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, $2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}$ (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}$).

Odkazy

Související články

• Komutativita
• Distributivita
• Precedence
• Aritmetika
• Algebraická struktura

Externí odkazy

• (anglicky)  Asociativita v encyklopedii MathWorld