Vektorový součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vektorový součin je v matematice binární operace vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Vektorový součin vektorů a, b se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

Definice[editovat | editovat zdroj]

Vektorový součin vektorů a a b je definován jako vektor kolmý k vektorům a a b s velikostí rovnou obsahu rovnoběžníka, který oba vektory určují:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \alpha

kde α je úhel svíraný vektory a a b (0° ≤ α ≤ 180°) a n je jednotkový vektor k nim kolmý. Takové jednotkové vektory však existují dva; volba závisí na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor a znázorněn ukazovákem a vektor b prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je kolmý na osu dlaně a prostředník směřuje blíže k této ose, pak vektorový součin a×b je ve směru palce.

Vektorový součin

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin c = a×b, pak složky vektoru c lze určit jako

c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako

c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic 3\times3

\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)\qquad \longleftrightarrow \qquad A = \left(\begin{array}{rrr}0&a_3&-a_2\\-a_3&0&a_1\\a_2&-a_1&0\end{array}\right)

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic

\left(\begin{array}{rrr}0&c_3&-c_2\\-c_3&0&c_1\\c_2&-c_1&0\end{array}\right) = C = BA-AB =
\left(\begin{array}{ccc}0&a_1b_2-a_2b_1&-(a_3b_1-a_1b_3)\\-(a_1b_2-a_2b_1)&0&a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3&-(a_2b_3-a_3b_2)&0\end{array}\right).

Množina antisymetrických matic 3\times3 je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Zobecnění při zachování bilinearity[editovat | editovat zdroj]

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu

d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení

d_{23} = -d_{32} = c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
d_{31} = -d_{13} = c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
d_{12} = -d_{21} = c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
d_{11} = d_{22} = d_{33} = 0

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Přímočaré zobecnění, není-li požadována binárnost[editovat | editovat zdroj]

Víme, že ve 3D se vektorový součin chová tak, že výsledkem je vektor kolmý na oba argumenty součinu a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku utvořeného z argumentů. Vstupní vektory a výsledek (v tomto pořadí) tvoří přitom pravotočivou bázi.

Tato definice nabízí přímočaré a mnohdy pro svou užitečnost používané zobecnění. V nD prostoru bude tedy vektorový součin vracet vektor kolmý na zadaných (n-1) vektorů. Jeho velikost bude rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu z těchto vektorů utvořeného. Orientaci zvolíme tak, aby posloupnost n vektorů, kde prvních (n-1) odpovídá zadaným argumentům a n-tý je výsledek, tvořila pravotočivou bázi.

Lze ukázat, že výsledný vektor je pak dán takto:

\bigwedge(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)=
\begin{vmatrix}
v_1{}^1 &\cdots &v_1{}^{n+1}\\
\vdots  &\ddots &\vdots\\
v_n{}^1 & \cdots &v_n{}^{n+1}\\
\mathbf{e}_1 &\cdots &\mathbf{e}_{n+1}
\end{vmatrix}.

Kde symbolem \bigwedge značíme zobecněný vektorový součin, dolní index označuje pořadové číslo vektoru a horní čísluje jeho složky. Je zřejmé, že pro n=2 přejde vzorec ve známý vztah z 3D.

Ve složkách lze výsledný vektor zapsat dle pravidla o rozvoji determinantu takto

\bigwedge(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) = ((-1)^{n}D_1,(-1)^{n+1}D_2,\cdots,(-1)^{n+n}D_{n+1}),

kde bylo použito označení D_i pro determinant matice utvořený s n vektorů, ve který má každý vektor vynechánu i-tou složku.

Podobně lze výsledek zapsat pomocí \varepsilon symbolu, který nabývá hodnot 1,-1,0 podle toho jestli je posloupnost indexů, které obsahuje sudá, lichá, nebo je v posloupnosti nějaký index dvakrát. Máme tedy

c_i = \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n i}\, v_1{}^{j_1} v_2{}^{j_2} \cdots v_n{}^{j_n},

kde c_i označuje i-tou složku zobecněného vektorového součinu. Je užitečné si všimnout, že index i se v symbolu \epsilon vyskytuje na konci, nikoliv na začátku, jak se píše ve 3D, kde na tom nezáleží, na rozdíl od sudých dimenzí.

Z pravidla pro rozvoj determinantu je okamžitě vidět kolmost výsledku ke všem vektorům v součinu.

Poznamenejme, že tento vektorový součin mění znaménko při libovolné záměně vektorů (stejně jako ve 3D) a představuje multilineární operátor (lineární v každém svém argumentu).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Vektorový součin je homogenní , vynásobením vektorového součinu číslem a dostaneme
a\, (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v}).
  • Vektorový součin je také (oboustranně) distributivní vůči sčítání,
\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w},

takže se jedná o bilineární operaci.

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}
  • Vektorový součin vektorů u, v je nulový (u×v = o), právě když jsou rovnoběžné (lineárně závislé).
  • Tvoří-li vektory i, j, k (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak
\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}
\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}
\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}
  • V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů u, v zapsat pomocí determinantu jako
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Příklady výpočtu[editovat | editovat zdroj]

  • Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2 ~,~ u_3 v_1 - u_1 v_3 ~,~ u_1 v_2 - u_2 v_1)
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (1,2,0) \times (0,1,2) = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 ,~ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2 ,~ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (4,-2,1)
\mathbf{v} \times \mathbf{u} = (0,1,2) \times (1,2,0) = (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 ,~  2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 ,~ 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (-4,2,-1)
Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.
  • Výpočet pomocí determinantu matice:
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}
Pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo, podle nějž je výsledek

\begin{array}{rcl}
\mathbf{u} \times \mathbf{v} & = & \mathbf{i} u_2 v_3 + u_1 v_2 \mathbf{k} + v_1 \mathbf{j} u_3 - \mathbf{k} u_2 v_1 - u_3 v_2 \mathbf{i} - v_3 \mathbf{j} u_1 \\
~ & = & \mathbf{i} \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot \mathbf{k} + 0 \cdot \mathbf{j} \cdot 0 - \mathbf{k} \cdot 2 \cdot  0 - 0 \cdot 1 \cdot \mathbf{i} - 2 \cdot \mathbf{j} \cdot 1 \\
~ & = & 4 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k}
\end{array}
i, j, k jsou jednotkové vektory rovnoběžné s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).
Proto  \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 4 \cdot (1,0,0) - 2 \cdot (0,1,0) + 1 \cdot (0,0,1) = (4,-2,1).
Výpočet v×u je analogický.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly M je definován následovně:

\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},

kde r je polohový vektor působiště síly.

Související články[editovat | editovat zdroj]