Vektorový součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vektorový součin je v matematice označení binární operace mezi dvěma vektory v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.

Obsah

1 Značení
2 Definice
- 2.1 Zobecnění při zachování bilinearity
- 2.2 Přímočaré zobecnění, není-li požadována binárnost
3 Vlastnosti
4 Příklady výpočtu
5 Použití
6 Související články

[editovat] Značení

Vektorový součin vektorů $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ - používáno ve frankofonních zemích
$[\mathbf{a}\mathbf{b}]$ - používáno v Rusku
$[\mathbf{a},\mathbf{b}]$

[editovat] Definice

Vektorový součin vektorů a a b je definován jako vektor kolmý k vektorům a a b s velikostí rovnou ploše kosoúhelníku, který oba vektory definují:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \alpha$

kde α je úhel svíraný vektory a a b (0° ≤ α ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takové jednotkové vektory však existují dva; volba závisí na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor a znázorněn ukazovákem a vektor b prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je kolmý na osu dlaně a prostředník směřuje blíže k této ose, pak vektorový součin a × b je ve směru palce.

Vektorový součin

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin c = a × b, pak složky vektoru c lze určit jako

c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako

$c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

[editovat] Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu

d i j = a i b j - a j b i

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení

d 23 = - d 32 = c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

d 31 = - d 13 = c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

d 12 = - d 21 = c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

d 11 = d 22 = d 33 = 0

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

[editovat] Přímočaré zobecnění, není-li požadována binárnost

Víme, že ve 3D se vektorový součin chová tak, že výsledkem je vektor kolmý na oba argumenty součinu a jeho velikost je rovna obsahu 2D rovnoběžníku utvořeného z argumentů. Vstupní vektory a výsledek (v tomto pořadí) tvoří přitom pravotočivou bázi.

Tato definice nabízí přímočaré a mnohdy pro svou užitečnost používané zobecnění. V nD prostoru bude tedy vektorový součin vracet vektor kolmý na zadaných (n-1) vektorů. Jeho velikost bude rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu z těchto vektorů utvořeného. Orientaci zvolíme tak, aby poslopnost n vektorů, kde prvních (n-1) odpovídá zadaným argumentům a n-tý je výsledek, tvoříla pravotočivou bázi.

Lze ukázat, že výsledný vektor je pak dán takto:

$\bigwedge(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)= \begin{vmatrix} v_1{}^1 &\cdots &v_1{}^{n+1}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ v_n{}^1 & \cdots &v_n{}^{n+1}\\ \mathbf{e}_1 &\cdots &\mathbf{e}_{n+1} \end{vmatrix}.$

Kde symbolem $\bigwedge$ značíme zobecněný vektorový součin, dolní index označuje pořadové číslo vektoru a horní čísluje jeho složky. Je zřejmé, že pro n=2 přejde vzorec ve známý vztah z 3D.

Ve složkách lze výslený vektor zapsat dle pravidla o rozvoji determinantu takto

$\bigwedge(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n) = ((-1)^{n}D_1,(-1)^{n+1}D_2,\cdots,(-1)^{n+n}D_{n+1})$ ,

kde bylo použito označení $D i$ pro determinant matice utvořený s n vektorů, ve který má každý vektor vynechanu i-tou složku.

Podobně lze výsledek zapsat pomocí $\varepsilon$ symbolu, který nabývá hodnot 1,-1,0 podle toho jestli je posloupnost indexů, které obsahuje sudá, lichá, nebo je v posloupnosti nějaký index dvakrát. Máme tedy

$c_i = \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n i}\, v_1{}^{j_1} v_2{}^{j_2} \cdots v_n{}^{j_n}$ ,

kde $c i$ označuje i-tou složku zobecněného vektorového součinu. Je užitečné si všimnout, že index i se v symbolu $ε$ vyskytuje nakonci, nikoliv na začátku, jak se píše ve 3D, kde na tom nezáleží, narozdíl od sudých dimenzí.

Z pravidla pro rozvoj determinantu je okamžitě vidět kolmost výsledku ke všem vektorům v součinu.

Poznamenejme, že tento vektorový součin mění znaménko při libovolné záměně vektorů (stejně jako ve 3D) a představuje multilineární oparátor (lineární v každém svém argumentu).

[editovat] Vlastnosti

Vektorový součin je antikomutativní, tzn.

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

Vynásobením vektorového součinu číslem a dostaneme

$a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})$

Platí také distributivní zákon

$\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$

Je-li pro dva nenulové vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ jejich vektorový součin nulový, tzn. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$ , pak jsou vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ rovnoběžné.

Vyjádříme-li bázi třírozměrného vektorového prostoru pomocí jednotkových vektorů ortogonální báze i, j, k, pak

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$

$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$

$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů u, v zapsat pomocí determinantu jako

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$

[editovat] Příklady výpočtu

Součin vektorů $\mathbf{u=(u_1 , u_2 , u_3)}$ a $\mathbf{v = (v_1 , v_2 , v_3)}$ se vypočítá následovně:

$u \times v = (u_2 v_3 - u_3 v_2 ~,~ u_3 v_1 - u_1 v_3 ~,~ u_1 v_2 - u_2 v_1)$

Tedy například pro vektory $\mathbf{u=(1 , 2 , 0)}$ a $\mathbf{v = (0 , 1 , 2)}$ je výpočet následující:

$u \times v = (1,2,0) \times (0,1,2) = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 ~,~ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2 ~,~ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (4, -2, 1)$

$v \times u = (0,1,2) \times (1,2,0) = (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 ~,~ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 ~,~ 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (-4, 2, -1)$

Je zřejmé, že vektory $u \times v$ a $v \times u$ jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory $\mathbf{u}$ a $\mathbf{v}$ .

Výpočet pomocí determinantu matice:

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo, podle nějž je výsledek

$\begin{array}{rcl} u \times v & = & \mathbf{i} u_2 v_3 + u_1 v_2 \mathbf{k} + v_1 \mathbf{j} u_3 - \mathbf{k} u_2 v_1 - u_3 v_2 \mathbf{i} - v_3 \mathbf{j} u_1 \\ ~ & = & \mathbf{i} \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot \mathbf{k} + 0 \cdot \mathbf{j} \cdot 0 - \mathbf{k} \cdot 2 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \cdot \mathbf{i} - 2 \cdot \mathbf{j} 1 \\ ~ & = & 4 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} \end{array}$

$\mathbf{i}, \mathbf{j}$ a $\mathbf{k}$ jsou jednotkové vektory rovnoběžné s jednotlivými souřadnými osami, tedy $\mathbf{i = (1,0,0)}, ~ \mathbf{j = (0,1,0)}, ~ \mathbf{k = (0,0,1)}$ .

Proto $u \times v = 4 \cdot (1,0,0) - 2 \cdot (0,1,0) + 1 \cdot (0,0,1) = (4,-2,1)$ .

Výpočet $v \times u$ je analogický.

[editovat] Použití

Vektorový součin je hojně využíván v elektromagnetismu, např. pro výpočet Lorentzovy síly. Dalším příkladem je moment síly $\mathbf{M}$ , který je definován $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor působiště síly.