Kompaktní množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Kompaktní množina je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné.

V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.

Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní (v této množině), tuto vlastnost nazýváme sekvenciální kompaktnost. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená, (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí).

V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.

Obsah 1 Kompaktní prostor 2 Příklady kompaktních množin 3 Vlastnosti 4 Související články 5 Literatura

[editovat] Kompaktní prostor

Je-li kompaktní množina prostorem (topologickým, vektorovým, metrickým), pak hovoříme o kompaktním prostoru.

Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.

Kompaktní metrický prostor lze ekvivalentne definovat i pomocí následujících podmínek:

• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima.
• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená.
• Z každého spočetného pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné podpokrytí.

[editovat] Příklady kompaktních množin

• prázdná množina
• Cantorova množina
• libovolný konečný topologický prostor
• pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
• uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru

[editovat] Vlastnosti

• Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená.
• Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
• Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.
• Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá.

[editovat] Související články

• Topologie

[editovat] Literatura