Teorie míry

Bylo navrženo rozdělit tento článek

do článků Teorie míry a Míra. K návrhu se můžete vyjádřit v diskusi.

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice

Mějme měřitelný prostor $(X, \Sigma)$. Množinovou funkci $\mu: \Sigma \rightarrow \langle 0, \infty \rangle$ nazveme mírou, jestliže splňuje:

• Míra prázdné množiny je nulová: $\mu(\emptyset)=0$.
• Míra je vždy nezáporná: $\forall A: \mu(A) \ge 0$
• σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin $(A_{i})_{i=1}^\infty, \ A_i \in \Sigma$ platí $\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_{i})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_{i}).$

Trojici $(X, \Sigma, \mu)$ pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míry

• $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B)$
• Pro posloupnost množin $(A_i)_{i=1}^\infty$ platí: $\mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i}) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$
• Pro posloupnost podmnožin $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq ...$ platí: $\mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})$
• Naopak pro posloupnost nadmnožin: $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq ...$ pokud $\mu(A_{1})< \infty$ pak platí: $\mu(\bigcap_{i=1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})$

Příklady měr

• Diracova míra $\delta_{a}$: Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra $\delta_{a}$ je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

$\delta_{a}(A)=\begin{cases} \mbox{0 pokud } a\notin A\\ \mbox{1 pokud } a\in A \end{cases}$

• Aritmetická míra
• Lebesgueova míra
• Hausdorffova míra
• Lebesgue-Stieltjesovy míry

Reference

• Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
• J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články

σ-algebra