Úplný metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).

[editovat] Úplný obal

Ke každému metrickému prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ existuje takový úplný metrický prostor $\mathbf{M}^*$ , že $\mathbf{M}$ je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor $\tilde \mathbf{M}$ hustý v $\mathbf{M}^*$ . Prostor $\mathbf{M}^*$ nazýváme úplným obalem metrického prostoru $\mathbf{M}$ .

Platí, že pokud jsou $(\mathbf{M}^*,\rho_1), (\mathbf{M}^{**},\rho_2)$ úplné obaly metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ , pak existuje izometrické zobrazení $f:\mathbf{M}^* \to \mathbf{M}^{**}$ .

[editovat] Vlastnosti

Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

[editovat] Příklady

Prostor reálných čísel $\mathbb{R}$ s euklidovskou metrikou je úplný.
Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel $a 1 = 2$ , $a 2 = 2,7$ , $a 3 = 2,71$ , $a 4 = 2,718$ , $a 5 = 2,7182$ a dále dle desetinného rozvoje cisla $e$ , která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální.
Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze konstantní posloupnosti (od jistého indexu).
Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $C(\langle a, b\rangle)$ s metrikou

$\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}$