Eukleidovský prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eukleidovský prostor je, historicky vzato, prostor splňující Eukleidovy axiomy. Laicky řečeno jedná se o běžný prostor, v kterém jsme zvyklí vytvářet si svoje geometrické představy. Pojem eukleidovského prostoru tak přešel z geometrie do fyziky i do algebry.

Dimenze prostoru[editovat | editovat zdroj]

Původní představa eukleidovského prostoru je dvojrozměrná (rovina, ve které rýsujeme své geometrické obrazce) či trojrozměrná. Postupným zobecněním si ale dokážeme představit i prostory vyšších dimenzí, ve kterých platí stejné Eukleidovy axiomy.

Metrika prostoru[editovat | editovat zdroj]

Eukleidovský prostor je metrickým prostorem, tj. lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost). Například kružnici pak definujeme jako množinu bodů, ležících v rovině, které mají od jednoho bodu (středu) stejnou vzdálenost. V eukleidovském prostoru platí tzv. eukleidovská metrika, která umožňuje, že např. kružnice se pak zobrazuje tak, jak jsme zvyklí (při jiné metrice by mohla mít kružnice např. tvar čtverce aj.).

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z Eukleidových axiomů vyplývají některé základní vlastnosti, které považujeme za samozřejmé:

  • Rovnoběžky se nikde neprotínají (respektive někdy říkáme, že se "protínají v nekonečnu")
  • součet úhlů v trojúhelníku je 180°

Geometrie[editovat | editovat zdroj]

Prostor, ve kterém jsme zvyklí od starověku podnes řešit geometrické úlohy, je eukleidovský prostor. Řešíme v něm úlohy planimetrie, stereometrie, analytické geometrie, perspektivy a další.

Fyzika[editovat | editovat zdroj]

Prostor, ve kterém pracuje klasická fyzika, je eukleidovský.

Architektura[editovat | editovat zdroj]

Projektování staveb probíhá v eukleidovském prostoru.

Lineární algebra[editovat | editovat zdroj]

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí E_n.

Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.

Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích (x_1,x_2,...,x_n), (y_1,y_2,...,y_n) je určena vztahem

d = \sqrt{\sum_{i=1}^n {(x_i - y_i)}^2}

Eukleidovský prostor E_n bývá také označován jako kartézský prostor \mathbb{R}^n, kde \mathbb{R} označuje množinu reálných čísel. Kartézský prostor je tedy kartézským součinem n množin \mathbb{R}.

Rozšířením eukleidovského prostoru E_n lze získat n-rozměrný komplexní prostor K_n. Prostor K_n bývá označován také jako \mathbb{C}^n, kde \mathbb{C} je množina komplexních čísel.

Neeukleidovský prostor[editovat | editovat zdroj]

Prostory, ve kterých naopak není splněno všech pět eukleidovských axiomů, se zabývá neeukleidovská geometrie.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]