Trojúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrii. Další významy jsou uvedeny v článku Trojúhelník (rozcestník).

Trojúhelník je geometrický útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce.

Jednou ze základních vlastností trojúhelníka v „obyčejné“ euklidovské rovině je skutečnost, že součet velikostí jeho vnitřních úhlů je roven 180° (π v obloukové míře). Naproti tomu sférický trojúhelník na kulové ploše má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v hyperbolické (Lobačevského) rovině vždy menší než 180°.

Vlastnosti trojúhelníka tedy podstatně závisí na geometrických vlastnostech roviny, v níž leží. Následující poznatky platí většinou jen pro trojúhelník v euklidovské rovině.

Základní pojmy[editovat | editovat zdroj]

Trojúhelník ABC s vrcholy A, B, C a stranami a, b, c

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníku. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníku. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky.

Znázornění a zápis[editovat | editovat zdroj]

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

Konstrukce trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Trojúhelník může být určen:

  • (sss) délkou všech tří stran,
  • (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají,
  • (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají,
  • (Ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich.

Vlastnosti trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Vnitřní úhly: α, β, γ
vnější úhly: α’, β’, γ’ a α’’, β’’, γ’’

Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c
a + c > b
b + c > a , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku.
|a - b| < c
|a - c| < b
|b - c| < a

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

α + α’ = β + β’ = γ + γ’ = 180°
α + β = γ’
α + γ = β’
β + γ= α’
α + β + γ = 180°
α’ + β’ + γ’ = 2π
\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}
\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}
\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 2(1+\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma )
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné.

Vztahy mezi úhly a stranami určují sinová, kosinová a tangentová věta.


Zavedeme-li veličinu s = \frac{1}{2}(a+b+c), pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů

\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}
\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}}
\sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}
\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}
\cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}
\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}

Druhy trojúhelníků[editovat | editovat zdroj]

Podle stran[editovat | editovat zdroj]

Obecný trojúhelník Rovnostranný trojúhelník Rovnoramenný trojúhelník
Obecný Rovnostranný Rovnoramenný

Podle úhlů[editovat | editovat zdroj]

Ostroúhlý trojúhelník Pravoúhlý trojúhelník Tupoúhlý trojúhelník
Ostroúhlý Pravoúhlý Tupoúhlý

Důležité přímky trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Výška[editovat | editovat zdroj]

Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Menší straně odpovídá větší výška. Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Ortocentrum leží buď uvnitř trojúhelníku, pokud je ostroúhlý, nebo u pravoúhlého trojúhelníka splývá s jeho vrcholem, při němž je pravý úhel anebo leží vně u tupoúhlého trojúhelníka. Spojnice jednotlivých pat výšek tvoří ortický trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník svůj ortický trojúhelník nemá, protože jeho dvě paty výšek splývají. Ortocentrum ostroúhlého trojúhelníku je středem kružnice vepsané jeho ortickému trojúhelníku; ortocentrum tupoúhlého trojúhelníku je středem jedné z kružnic připsaných jeho ortickému trojúhelníku. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany.

Pro výšky trojúhelníku platí

v_a:v_b:v_c = \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}

Velikosti výšek jsou určeny vztahy

v_a = b\sin\gamma = c\sin\beta
v_b = a\sin\gamma = c\sin\alpha
v_c = a\sin\beta = b\sin\alpha

Výška trojúhelníku

Těžnice[editovat | editovat zdroj]

Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem T. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.

Délky těžnic jsou

t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2},
t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2},
t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}.

Těžnice trojúhelníku

Střední příčka[editovat | editovat zdroj]

Střední příčka je spojnice středů dvou stran (dvou pat těžnic). Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky – příčkový trojúhelník a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech. Těžiště trojúhelníku je zároveň těžištěm jeho příčkového trojúhelníku. Střední příčky se označují malým písmenem s

Střední příčka trojúhelníku

Symediána[editovat | editovat zdroj]

Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu A podle osy úhlu při vrcholu A). Každý trojúhelník má tři symediány. Všechny symediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá Lemoinův bod. Lemoinův bod leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníku nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníku. Pokud Lemoinovým bodem vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami, všechny průsečíky těchto rovnoběžek se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá první Lemoinova kružnice. Střed první Lemoinovy kružnice je středem úsečky spojující Lemoinův bod a střed kružnice opsané.

Osa trojúhelníku

Osy úhlů[editovat | editovat zdroj]

Osa vnitřního úhlu dělí protější stranu v poměru délek přilehlých stran. Osa vnitřního úhlu dělí tento vnitřní úhel na polovinu. Podobně osa vnějšího úhlu dělí vnější úhel na polovinu. Na obrázku je osa vnitřního úhlu o_c, osa vnějšího úhlu o_c^\prime a také těžnice t_c a výška v_c z vrcholu C. Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů.

Morleyův trojúhelník je rovnostranný

Třetiny úhlů[editovat | editovat zdroj]

Pokud jednotlivé vnitřní úhly rozdělíme přímkami na tři stejné díly (trisekce úhlu), průsečíky těchto přímek (vždy těch dvou, které jsou bližší dané straně trojúhelníku) vždy tvoří rovnostranný trojúhelník (Morleyova věta).

Osy stran[editovat | editovat zdroj]

Osa strany je kolmice vedená ze středu strany. Osy stran se protínají v jednom bodě (tento bod má stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů trojúhelníka).

Eulerova přímka[editovat | editovat zdroj]

Eulerova přímka je přímka, která prochází těžištěm a ortocentrem nebo středem přímky. Na Eulerově přímce leží i střed kružnice opsané a střed kružnice devíti bodů. V rovnostranném trojúhelníku těžiště a ortocentrum splývají, takový trojúhelník Eulerovu přímku nemá.

Gaussova přímka

Gaussova přímka[editovat | editovat zdroj]

Pokud přímka p protíná přímky, na nichž leží strany trojúhelníku, v bodech X, Y, Z, pak středy úseček AX, BY, CZ leží na přímce. Tato přímka se nazývá Gaussova přímka.

Kružnice opsaná, vepsaná a připsaná[editovat | editovat zdroj]

Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. Nagelova věta).

Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}.
Opsaná kružnice

Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí

\rho = \frac{1}{2}(a+b+c) \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} = \frac{S}{s}.
Vepsaná kružnice

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je

d = \sqrt{r^2 - 2r\rho}.

Kružnice připsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vnějších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Každý trojúhelník má tři kružnice připsané.

Obvod a obsah[editovat | editovat zdroj]

Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran:

o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

S = z × v / 2 , kde v je výška příslušná straně z

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle Heronova vzorce

s = o / 2 kde o je obvod trojúhelníku
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (r):

S=\frac{abc}{4r}=2r^2 \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (\rho):

S=\frac{a+b+c}{2}\rho

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha
Trojúhelník_ABC-D

Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (ax,ay), (bx,by), (cx,cy) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice):

S=\frac{1}{2}|(c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x)|

nebo:

S=\frac{1}{2}|[a_x (c_y - b_y) +  b_x(a_y - c_y)+c_x(b_y - a_y)]|

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (dx,dy) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak znaménka obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

Věty o trojúhelníku[editovat | editovat zdroj]

V trojúhelníku platí mnohé věty, vzorce, poučky. Např.

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha : Nakladatelství technické literatury, 1988.  

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]