Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

 S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)},

kde  s= \frac {a + b +c}{2} je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:

 \ x^2 + v^2 = c^2

 \ (a-x)^2 + v^2 = b^2

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

 \ a^2 - 2ax = b^2 - c^2

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

 x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem, což nevadí. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

 \ v^2 = c^2 - x^2

 v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2

 v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

 S= \frac {av}{2},

dostaneme

 S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

 S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}

Dosadíme poloviční obvod s,

 \ a + b + c = 2s

a dostáváme výsledný vzorec:

 S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}

 S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}

Historie[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html