Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníka v případě, že jsou všechny jeho strany dány.

Obsah

[editovat] Vzorec

 S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}

kde  s= \frac {a + b +c}{2}

[editovat] Důkaz

Soubor:Heronuv_vzorec_small.png

Pro trojúhelník na obrázku platí:

 \ x^2 + v^2 = c^2

 \ (a-x)^2 + v^2 = b^2

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

 \ a^2 - 2ax = b^2 - c^2

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

 x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}

Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme v:

 \ v^2 = c^2 - x^2

 v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2

 v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

 v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku, dostaneme:

 S= \frac {av}{2}

 S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

 S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}

 S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}

Dosadíme s z Heronova vzorce:

 \ a + b + c = 2s

 S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}

 S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}

 S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}

[editovat] Historie

Vzorec byl formulován Heronem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Metrica, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

[editovat] Poznámky

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html