Heronův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníka v případě, že jsou všechny jeho strany dány.

Obsah

1 Vzorec
2 Důkaz
3 Historie
4 Související články
5 Externí odkazy
6 Poznámky

[editovat] Vzorec

$S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}$

kde $s= \frac {a + b +c}{2}$

[editovat] Důkaz

Pro trojúhelník na obrázku platí:

$\ x^2 + v^2 = c^2$

$\ (a-x)^2 + v^2 = b^2$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$\ a^2 - 2ax = b^2 - c^2$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}$

Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme v:

$\ v^2 = c^2 - x^2$

$v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2$

$v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}$

$v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku, dostaneme:

$S= \frac {av}{2}$

$S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}$

Dosadíme s z Heronova vzorce:

$\ a + b + c = 2s$

$S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}$

$S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}$

$S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}$