Úhel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Úhel (rovinný) může být definován jako

  • část roviny určená dvěma polopřímkami ležícími v této rovině se společným počátkem.[1]
  • dvojice polopřímek se společným počátkem nebo dvojice přímek v rovině nebo v prostoru [2]
  • uspořádaná dvojice dvou orientovaných přímek nebo dvou polopřímek se společným počátkem nebo veličina charakterizující polohový vztah mezi nimi[3]

Kromě toho existuje i prostorový úhel

Základní pojmy[editovat | editovat zdroj]

Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu.

Do úhlu zahrnujeme také body ležící na polopřímkách. Množina všech bodů úhlu, které neleží na žádné z polopřímek, se nazývá vnitřek úhlu. Množina všech bodů roviny, které nepatří do úhlu, se nazývá vnějšek úhlu.

Znázornění a zápis[editovat | editovat zdroj]

Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene, např. \alpha, nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně - vrchol - pomocný bod na druhém rameně, např. \angle AVB.

Úhel

Druhy úhlů[editovat | editovat zdroj]

  • Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě.
  • Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel.
  • Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Pravý úhel se označuje tečkou v obloučku. Dvě přímky v pravém úhlu dělí plochu na 4 shodné kvadranty.
  • Tupý úhel je větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel.
  • Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky (tzn. 180°).
  • Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina kolem nich.
  • Kosý úhel je úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný
  • Dutý úhel je úhel, který je větší než přímý úhel a menší než plný úhel

Druhy úhlů

  • Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý.
  • Konkávní úhel je větší než přímý úhel.

Konvexní úhel

Dvojice úhlů[editovat | editovat zdroj]

  • Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné.

Vrcholové úhly

  • Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

Vedlejší úhly

  • Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné.

Souhlasné úhly

  • Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné.

Střídavé úhly

Úhly příslušné k obvodu kružnice[editovat | editovat zdroj]

  • Středový úhel je úhel, jehož vrcholem je střed S kružnice k a ramena procházejí krajními body oblouku AB kružnice k. (α, β - středové úhly)

Středový úhel

  • Obvodový úhel je každý úhel, jehož vrchol V leží na kružnici k a ramena procházejí krajními body oblouku AB kružnice k (V ≠ A, V ≠ B).

Obvodový úhel

  • Úsekový úhel je úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice k s tečnou t kružnice k v bodě A (popř. bodě B).

Úsekový úhel

vztahy mezi velikostmi těchto úhlů asi nejlépe popisuje tento obrázek:

Úhly kružnice

Souměrnost[editovat | editovat zdroj]

Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).

Osa úhlu

Orientovaný úhel[editovat | editovat zdroj]

Orientovaným úhlem nazýváme uspořádanou dvojici polopřímek \begin{matrix} \rightarrow\\ VA \\ \end{matrix}, \begin{matrix} \rightarrow \\ VB \\ \end{matrix} se společným bodem V, přičemž polopřímku \begin{matrix} \rightarrow \\ VA \\ \end{matrix} nazveme počátečním ramenem úhlu a polopřímku \begin{matrix} \rightarrow \\ VB \\ \end{matrix} nazveme koncovým ramenem úhlu. Bod V je vrcholem orientovaného úhlu.


Velikost úhlu[editovat | editovat zdroj]

Velikost úhlu je nezáporné číslo, které lze přiřadit každému úhlu. Platí přitom, že shodné úhly mají stejnou velikost a také, že součet velikostí úhlů \angle AVX a \angle XVB je roven velikosti úhlu \angle AVB.

Číselná velikost úhlu je dána volbou nenulového úhlu, kterému přiřadíme velikost 1. V praxi se pro měření úhlu používá

Oblouková (radiánová) míra[editovat | editovat zdroj]

Hodnota jednotkového úhlu v obloukové míře je zvolena tak, že úhel o velikosti 1 vymezuje na kružnici se středem ve vrcholu úhlu oblouku, jehož délka je rovna poloměru dané kružnice. Hodnotu obloukové míry úhlu \alpha značíme \operatorname{arc}\alpha.

Velikost libovolného úhlu je možné určit jako poměr délky oblouku vymezeného rameny na kružnici opsané kolem vrcholu k poloměru této kružnice, tzn.

\alpha = \frac{s}{r},

kde s je délka kruhového oblouku mezi přímkami, které vymezují úhel, a r je poloměr kruhového oblouku. Velikost pravého úhlu je v obloukové míře rovna \frac{\pi}{2}.

Úhlová jednotka obloukové míry je radiánech (zkratka rad).

Stupňová míra[editovat | editovat zdroj]

Stupňová míra (devadesátinná, nonagesimální) je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 90 dílů, které se nazývají (úhlové) stupně. Vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou lze tedy zapsat jako

1° = π/180 rad

Vyjádření úhlu v šedesátkové soustavě: Úhlový stupeň se dělí na 60 (úhlových) minut, tzn. 1° = 60′. Pro úhlové minuty se používá také označení arcminute nebo arcmin. 60arcmin = 60′ = 1°.
Každá úhlová minuta se dále dělí na 60 (úhlových) vteřin, tzn. 1′ = 60′′. Pro úhlové vteřiny se používá také označení arcsecond nebo arcsec. 3600arcsec = 3600′′ = 60′ = 1°.

Vyjádření úhlu v desítkové soustavě: úhlový stupeň se dělí dekadicky, např. 22° 29′ 36′′ = 22,4933°.

Setinná míra[editovat | editovat zdroj]

Setinná míra je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 100 dílů, které nazýváme gony (grady, setinné stupně). Vztah mezi setinnou a obloukovou mírou lze zapsat jako

1^g = \frac{\pi}{200} rad

Setinný stupeň se dělí na 100 setinných minut, tzn. 1^g = 100^c, a každá setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin, tzn. 1^c = 100^{cc}.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Jeden stupeň je 1/180 přímého úhlu, neboli přímý úhel má velikost 180°. Zlomky stupňů se vyjadřují buď v desítkové nebo v šedesátkové soustavě, viz následující příklady:

  • půl stupně = 0,5° = 0° 30’ tj. 30 úhlových minut
  • osmina stupně = 0,125° = 0° 7’ 30" tj. 7 úhlových minut a 30 vteřin.

Jeden radián je 1/π přímého úhlu.

Přímý úhel

Velikost dalších úhlů:

  • Nulový úhel: 0°, tzn. 0 rad
  • Ostrý úhel: mezi 0° a 90°, tzn. mezi 0 a π/2 rad
  • Pravý úhel: 90°, tzn. π/2
  • Tupý úhel: mezi 90° a 180°, tzn. π/2 a π rad
  • Kosý úhel: 0°<α<90° nebo 90°<α<180°
  • Dutý úhel: 0°<α<180°
  • Konvexní (vypuklý) úhel: 0°≤α≤180°
  • Nekonvexní úhel: mezi 180° a 360°, tzn. mezi π a 2π rad
  • Přímý úhel: 180°, tzn. π rad
  • Plný úhel: 360°, tzn. 2π rad

Stupně se používají především z historických důvodů a také pro relaivně snadné provádění jednoduchých výpočtů. Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech - zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc relativně intuitivní jednoka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na jednotkové kružnici.

Velikost orientovaného úhlu[editovat | editovat zdroj]

Velikost orientovaného úhlu je (v obloukové míře) rovna \alpha+k2\pi, kde \alpha je velikost stejného neorientovaného úhlu a k je celé číslo. Velikost orientovaného úhlu je úhel, kterým musí projít počáteční rameno při otočení do koncového ramene. Člen k2\pi představuje počet celých otoček kolem vrcholu úhlu.

Operace s úhly[editovat | editovat zdroj]

Sčítání úhlů[editovat | editovat zdroj]

Dva úhly se sečtou tak, že vezmete kružítko a libovolně přejedete úhel který máte narýsován, kružítko zapíchnete na libovolné místo na dolní čáře a jedete čarou k čáře 2. Dole na úhlu od čáry kružítka zapíchnete kružítko do dolní čáry do místa, kde se protínají čáry úhlu a kružítka a druhý konec kružítka na druhou čáru, kde se protíná čára úhlu a kružítka a necháte v kružítku velikost, kterou jste si s úhlu vytáhli. Máte-li 2 úhly na sečtení nechte si ještě pořád velikost kružítka z úhlu prvního a na druhém libovolně zapíchněte kružítko s velikostí z minulého úhlu na čáru druhého úhlu a táhněte s ním na druhou čáru a velikost na kružítku si opět nechte. Narýsujte čáru s jedním bodem a kružítko s pořád stejnou velikostí zapíchněte do bodu (bod musí být na levé straně) a táhněte s kružítkem doleva. Na obou úhlech zanikly ramena. Tam, kde se protíná kružítko a úhel, zapíchněte kružítko a jeďte do druhého ramena. Nechte si velikost a zapíchněte kružítko na narýsovanou čáru a na bodě zapíchněte a jeďte do minulé čáry od kružítka, než se střetnou, a pak pravítkem narýsujte čáru do bodu a to samé s druhým úhlem a na obrázku vidíte výsledek.

Sčítání úhlů

Odčítání úhlů. Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů.

Odčítání úhlů

Násobení úhlů přirozeným číslem. Násobení úhlu přirozeným číslem se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát, kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným číslem.

Dělení úhlů dvěma. Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma. Konstrukčně nelze provést přesné dělení obecného úhlu třemi, úloha je známa pod jménem trisekce úhlu.

Operace s orientovanými úhly[editovat | editovat zdroj]

Při operacích s orientovanými úhly je nutné zohlednit jejich znaménka.

Jestliže tedy k orientovanému úhlu \alpha přičítáme orientovaný úhel \beta, který však je opačně orientován, je výsledek stejný jako bychom od neorientovaného úhlu o stejné velikosti jako má úhel \alpha odčítali neorientovaný úhel o stejné velikosti jako má úhel \beta. Výsledkem takové operace je opět orientovaný úhel, který má stejnou orientaci jako \alpha, jestliže \alpha>\beta, nebo má orientaci jako úhel \beta, jestliže \alpha<\beta.

Měřicí přístroje[editovat | editovat zdroj]

Měření úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřícich přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů dálkoměrů.

  • úhloměr - nejjednodušší měřidlo - jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno.
  • Jakubova hůl - jednoduchý středověký astronomický přístroj měřící na principu porovnávání stran trojúhelníka
  • Kvadrant, sextant, oktant - používané v navigaci

Související články[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu


Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. od Úhel - definice, www.rvp.cz, ISSN:1802-4785 ,Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
  2. http://mf.gymji.cz/dokumenty/data/sylabus-planimetrie-1.doc Kapitola 3 Planimetrie
  3. Geometrie: základy geometrie v rovině. Díl 1, Plzeň : Západočeská univerzita, 2002