Sinus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sinus je goniometrická funkce. V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr protilehlé odvěsny a přepony. Pro označení této funkce se obvykle používá zkratka sin a jejím grafem je sinusoida. Je definována buď na oboru reálných čísel anebo šířeji na oboru komplexních čísel.

[editovat] Sinus v reálném oboru

Reálná funkce reálné proměnné $y = sin x$ má následující vlastnosti (kde $k$ je libovolné celé číslo):

Definiční obor: $\mathbb{R}$ (reálná čísla)
Obor hodnot: $\langle-1;1\rangle$
Rostoucí: v každém intervalu $\textstyle\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$
Klesající: v každém intervalu $\textstyle\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$
Maximum je $1$ (v bodech $\textstyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ )
Minimum je $- 1$ (v bodech $\textstyle x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ )
Derivace: $y'=\cos x\,\!$
Integrál: $\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c, c \in\mathbb{R}$
Taylorův polynom: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Inverzní funkce (na intervalu $\langle -1;1\rangle$ a oborem hodnot obvykle stanoveným na $\langle -\pi;\pi\rangle$ ): arkus sinus (arcsin)
Sinus je funkce:
- lichá
- omezená shora i zdola
- periodická s periodou $2 k π$