Sinus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce sinus - sinusoida

Sinus je goniometrická funkce.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka sin doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr protilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem sinu v reálném oboru je sinusoida.

Sinus na jednotkové kružnici[editovat | editovat zdroj]

Sinus α na jednotkové kružnici

Sinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je sin α roven y-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce kolmice spuštěné z tohoto bodu na osu x. Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) x-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven cos α.

Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže také platí:

(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1.

Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.

Protože zřejmě platí, že

\sin \alpha = \sin \alpha + k \cdot 2\pi (resp. \sin \alpha + k \cdot 360^{\circ}),

kde k je libovolné celé číslo, lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé ojnici) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.

Sinus v reálném oboru[editovat | editovat zdroj]

Reálná funkce reálné proměnné y=\sin x má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

Sinus v komplexním oboru[editovat | editovat zdroj]

Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady

\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla z, z_1 a z_2 platí:

\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,
\sin iz = i \sinh z.\,

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]