Kosinus

Graf funkce cosinus

Cosinus je goniometrická funkce. V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Pro označení této funkce se obvykle používá zkratka cos a jejím grafem je cosinusoida. Definuje se buď na oboru reálných čísel anebo jako komplexní funkce komplexní proměnné.

Cosinus v reálném oboru

Funkce $y=\cos x\,\!$ má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb{R}$ (reálná čísla)
• Obor hodnot: $\langle-1;1\rangle$
• Rostoucí: v každém intervalu $\left(\pi+2k\pi, 2 \pi + 2k\pi\right)$
• Klesající: v každém intervalu $\left(2k\pi, \pi+2k\pi\right)$
• Maximum: +1 v bodech $2k\pi$
• Minimum: -1 v bodech $\pi+2k\pi$
• Derivace: $y'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + c$
• Taylorův polynom: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^{2})^{n}}{(2n)!}$
• Inverzní funkce: arkus cosinus (arccos)
• je:
  • sudá
  • omezená shora i zdola
  • periodická s periodou $2k\pi$

Cosinus v komplexním oboru

Funkce cosinus je v komplexních číslech definována součtem řady

$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$

která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z₁,z₂ platí:

$\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},$

$\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2,$

$\cos iz = \cosh z,\,$

Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Cosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.

Související články

• Goniometrie
• Sinus
• Tangens
• Kotangens
• Cyklometrické funkce
• Cosinová věta