Arkus sinus

Arkus sinus je cyklometrická funkce. Jde o inverzní funkci ke goniometrické funkci sinus.

Vlastnosti

• Funkce je:
  • lichá
  • ostře rostoucí na celém svém definičním oboru
• Definiční obor: $\langle -1, 1 \rangle$
• Obor hodnot: $\textstyle\left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle$
• Derivace: $\operatorname{arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• Taylorův polynom:

$\begin{align} \operatorname{arcsin}(x) & = x + \frac {1} {2} \cdot \frac {x^3} {3} + \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \cdot \frac {x^5} {5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \cdot \frac{x^7} {7} + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \cdot \frac {x^{2n+1}} {2n+1}\right), \quad \left| z \right| < 1 \end{align}$

• Inverzní funkce: sinus
• Graf:
  • Vznikne překlopením grafu funkce $y = \sin(x)$ podle osy I. a III. kvadrantu.
  • Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce $\sin(x)$ prostá, tedy v tomto případě rostoucí.
  • Interval $\textstyle\left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle$ z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce $x = \mathrm{arcsin}(y)$.
  • Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu.

Související články

• Sinus
• Arkus kosinus
• Arkus tangens
• Arkus kotangens
• Goniometrie