Řada (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Řada (také nekonečná řada) je matematický výraz ve tvaru \sum_{n=1}^\infty a_n, kde a_1, a_2, a_3, \ldots je nějaká posloupnost.

Pokud jsou členy řady tvořeny čísly, tzn. každý člen a_n \, závisí pouze na svém pořadovém čísle n \,, pak hovoříme o číselných řadách (řadách s konstantními členy). Každý prvek řady však může záviset nejen na svém pořadovém čísle n \,, ale také na dalších parametrech. Takové řady označujeme jako funkční (popř. také funkcionální). Funkční řada je řada, jejímiž členy jsou funkce. Funkční řadu, kterou získáme z funkční posloupnosti (f_n(x)) \,, vyjadřuje výraz

\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+ \cdots

pro x \in (a,b), kde (a,b) je vzájemný průnik definičních oborů funkcí f_1f_n.

Zvolíme-li libovolné x_0 \in (a,b), pak získáme číselnou řadu \sum_{n=1}^\infty f_n(x_0).

Součet řady[editovat | editovat zdroj]

Z posloupnosti a_1, a_2, a_3, \ldots lze vytvořit novou posloupnost (s_n) \,, jejíž členy jsou určeny jako s_n=\sum_{k=1}^n a_k, tedy (konečný) součet prvních n prvků posloupnosti (a_n) \,. Posloupnost (s_n) \, označujeme jako posloupnost částečných součtů nebo sumaci řady \sum a_n. Člen s_n \, této posloupnosti se nazývá n-tým částečným součtem nekonečné řady.

Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako

\lim_{n \to \infty}s_n.

Termín „řada“ bývá v některých případech ztotožňován s tímto součtem.

Konvergence řady[editovat | editovat zdroj]

Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn.

\lim_{n \to \infty} s_n=s,

pak říkáme, že řada je konvergentní (např. \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}), popř. bodově konvergentní v případě funkční řady. Pokud uvedená limita neexistuje (např. \sum_{n=1}^\infty (-1)^n - posloupnost částečných součtů je oscilující) nebo je nevlastní, tzn. s= \pm \infty (např. \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty), pak říkáme, že řada je divergentní.

Pro číselné řady je součtem řady číslo. Pro funkční řady je součtem řady funkce s(x) = \lim_{n \to \infty} s_n(x).

Řada a_1+a_2+a_3+... komplexních čísel a_k = \alpha_k+\mathrm{i}\beta_k \,, kde \alpha_k, \beta_k \, jsou reálná čísla pro k=1,2,... \,, je konvergentní tehdy a jen tehdy, konvergují-li obě řady \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+... \, a \beta_1+\beta_2+\beta_3+... \,.

Pokud \lim_{n \to \infty} \alpha_n=\alpha a \lim_{n \to \infty} \beta_n=\beta, pak

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\alpha_n + \mathrm{i}\lim_{n \to \infty} \beta_n = \alpha+\mathrm{i}\beta = a

Konverguje-li řada \sum a_n, pak konverguje také řada \sum c a_n. Jestliže konverguje řada \sum a_n, pak konverguje také řada, kterou z této řady získáme přidáním nebo odebráním konečného počtu členů. Pokud řada \sum a_n diverguje, pak bude divergentní také řada, která vznikne z této řady přidáním nebo odebráním konečného počtu členů.

U funkčních řad \sum f_n(x) označujeme množinu \mathbf{M} všech x, pro která je daná řada konvergentní, jako obor konvergence dané řady.

Absolutní konvergence[editovat | editovat zdroj]

Pokud konverguje řada \sum_{n=1}^\infty a_n, ale nekonverguje řada \sum_{n=1}^\infty |a_n|, říkáme, že řada \sum_{n=1}^\infty a_n konverguje neabsolutně.

Pokud konverguje řada \sum_{n=1}^\infty |a_n| i řada \sum_{n=1}^\infty a_n, pak říkáme, že řada \sum_{n=1}^\infty a_n konverguje absolutně.

Pro absolutně konvergentní řady platí komutativní, asociativní a distributivní zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.


Máme-li dvě absolutně konvergentní řady \sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n se součty s_a, s_b \,, pak platí

\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) = s_a+s_b
\sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{n=1}^\infty b_n = s_a s_b,

kde c_n = a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... +a_{n-1}b_2 + a_n b_1 \,.

Stejnoměrná konvergence[editovat | editovat zdroj]

Řadu funkcí \sum_{i=1}^\infty f_i(z) označíme jako stejnoměrně konvergentní, pokud v uzavřené oblasti \mathbf{G} komplexní roviny z existuje takové číslo \varepsilon>0 a k němu číslo N(\varepsilon), že pro libovolné n>N(\varepsilon) a z \in \mathbf{G} platí |s_n-s|<\varepsilon. Je-li z reálné, pak oblast \mathrm{G} představuje interval.

Podmínky konvergence[editovat | editovat zdroj]

U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po n-tém součtu jako

R_n = s - s_n \,

Podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu \varepsilon existuje takové N(\varepsilon), že pro libovolné n>N(\varepsilon) platí nerovnost

\left|R_n\right| = \left|s-s_n\right| < \varepsilon

Nutnou podmínkou konvergence řady \sum a_n je

\lim_{n \to \infty} a_n=0


Pokud součet řady \sum a_n vyjádříme ve tvaru s=s_n+R_n \,, kde s_n \, je n \,-tý částečný součet a R_n \, je zbytek řady po n \,-tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem

\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (s-s_n)=0


Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému \varepsilon>0 takové číslo N(\varepsilon), že pro libovolná m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon) platí

\left|s_m-s_n\right|<\varepsilon

Kritéria konvergence[editovat | editovat zdroj]

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady s \, jejím n \,-tým částečným součtem s_n \,. U konvergentních řad se chyba |s_n-s| \,, které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím n \, zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.


Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium[editovat | editovat zdroj]

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy \sum a_n, \sum b_n, přičemž pro všechna n \, platí 0\leq a_n \leq b_n \,. Řadu \sum a_n označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě \sum b_n a řadu \sum b_n jako majorantní řadu (majorantu) k řadě \sum a_n. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. \sum b_n, konverguje také minoranta, tedy \sum a_n. Diverguje-li minoranta \sum a_n, diverguje také majoranta, tedy \sum b_n.

Podílové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Při podílovém (d'Alembertově) kritériu konverguje řada s kladnými členy \sum a_n tehdy, existuje-li reálné číslo 0<q<1 takové, že pro každé n platí \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q. Pokud je \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1, pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy \sum a_n veličinu L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada \sum a_n konvergentní pro L<1 \,, divergentní pro L>1 \, a pro L=1 \, může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy \sum a_n konverguje, pokud existuje reálné číslo 0 \leq q<1 a pro každé n platí \sqrt[n]{a_n}\leq q. Pro případ \sqrt[n]{a_n}\geq 1 řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro řadu s kladnými členy \sum a_n zavedeme K = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro K<1 \,, divergentní pro K>1 \, a pro K=1 \, může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy \sum a_n konvergentní tehdy, pokud existuje takové přirozené číslo r>1, že pro všechna n platí n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}) \geq r. Jestliže n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})\leq 1, pak řada \sum a_n diverguje.

limitní Raabeovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Jestliže pro řadu s kladnými členy \sum a_n zavedeme M = \lim_{n \to \infty} n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}), pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro M>1 \,, diverguje pro M<1 \, a pro M=1 \, může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť \sum a_n je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako a_n=f(n) \,. Pokud ve funkci f(n) \, nahradíme diskrétní proměnnou n \, spojitou proměnnou x \,, přičemž f(x) \, bude spojitou a klesající funkcí na intervalu \langle 1,+\infty), pak podle tzv. integrálního kritéria je řada \sum a_n konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x. Pokud integrál \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x diverguje, pak diverguje také řada \sum a_n.

Leibnizovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Pro alternující řady, které zapíšeme jako \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n}a_n, kde a_n>0 \,, lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud a_1>a_2>a_3>... \,, a zároveň \lim_{n \to \infty} a_n=0.

Gaussovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

[1]Nechť (a_n) \, je kladná posloupnost, pro niž existují q, \alpha \in \mathbb{R}, kladné \varepsilon a omezená posloupnost (c_n) \, taková, že pro všechny n \in \mathbb{N} platí:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = q - \frac{\alpha}{n} + \frac{c_n}{n^{1 + \varepsilon}}
  • Když q < 1 \, nebo když q = 1 \, a \alpha > 1 \,, pak řada \sum a_n konverguje.
  • Když q > 1 \, nebo když q = 1 \, a \alpha \leq 1, pak řada \sum a_n diverguje.

Dirichletovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť (a_n) \, je reálná posloupnost a (b_n) \, komplexní posloupnost pro které platí:

  • (a_n) \, je monotonní a \lim_{n \to \infty} a_n=0;
  • (b_n) \, má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada \sum a_n b_n konverguje.

Abelovo kritérium[editovat | editovat zdroj]

Nechť (a_n) \, je reálná posloupnost a (b_n) \, komplexní posloupnost pro které platí:

  • (a_n) \, je monotonní a omezená;
  • \sum b_n je konvergentní řada.

Pak řada \sum a_n b_n konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Přerovnání řady[editovat | editovat zdroj]

Operace sčítání v \mathbb{C} je komutativní. Proto při sčítání konečného počtu čísel nezáleží na pořadí, v jakém jsou sčítány. Při nekonečně mnoha sčítancích tomu tak být nemusí.

Přerovnáním řady \sum a_n podle \phi \, se nazývá řada \sum a_{\phi(n)}, kde \phi \, je bijekce \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}.

Pokud je řada \sum a_n absolutně konvergentní, pak její každé přerovnání je také absolutně konvergentní řada a má stejný součet.

Riemannova věta[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Riemannova věta.

Je-li řada \sum a_n neabsolutně konvergentní reálná řada, pak ke každému s \in \overline{\mathbb{R}} existuje přerovnání \sum a_{\phi(n)}, jež má součet s \,. Rovněž existuje oscilující přerovnání \sum a_{\psi(n)}.

Důkaz: Označme K rozšířené reálné číslo rovné součtu kladných členů řady (je-li jich nekonečně mnoho, pak jej lze definovat jako součet řady s vynecháním nekladných členů nebo ekvivalentně jako supremum součtů konečných množin kladných členů). Podobně buď Z součet záporných členů řady.

Pak jsou jen tři možnosti:

a) K i Z jsou konečné, pak řada v každém přerovnání konverguje k číslu K+Z.

b) přesně jedno z nich je konečné, pak řada v každém přerovnání diverguje k tomu z nich, které je nekonečné

c) Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu s sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních n prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních n částečných součtů) nepřesáhne s. Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod s. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí věty o definici rekurzí.

Jelikož K i Z jsou nekonečné, neexistuje žádný index n_0\,\!, za nímž by již nedošlo ke změně směru. Z toho též plyne, že všechny členy původní řady budou vyčerpány, jedná se tedy skutečně o přerovnání.

Zbývá ukázat, že posloupnost částečných součtů konverguje k s. Pro libovolné ε>0 z definice konvergence existuje index n_1\,\! takový, že všechny členy původní řady, které jsou v absolutní hodnotě větší, než ε, jsou v novém přerovnání vyčerpány před n_1\,\!. Označme n_2\,\! nejbližší další index, kde došlo ke změně směru. Od tohoto indexu leží všechny částečné součty v intervalu (s-ε, s+ε), neboť jakmile je hodnota s překročena, dojde ihned ke změně směru. Přerovnaná řada tedy konverguje k s.

Oscilující řady lze zkonstruovat podobně, přičemž přesáhne-li částečný součet číslo 1, přidáváme záporné členy, dokud částečný součet neklesne pod -1, pak přidáváme kladné.

Násobení řad[editovat | editovat zdroj]

Pro absolutně konvergentní řady \sum_{n=1}^\infty a_n a \sum_{n=1}^\infty b_n platí:

\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) = \sum_{n=2}^\infty {\sum_{k=1}^{n-1} {a_k b_{n-k}}}

Některé významné řady[editovat | editovat zdroj]

1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}= 2.

Obecně lze říci, že geometrická řada \sum_{n=0}^\infty z^n konverguje právě tehdy, je-li |z| < 1 \,.

1 + 3 + 5 + 7 + ... = \sum_{n=1}^\infty \left[1 + 2(n-1)\right]=\infty.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. \lim_{n \to \infty} a_n=0, je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je harmonickým průměrem sousedních členů.

  • Řada s kladnými členy je taková řada \sum a_n, jejíž všechny členy vyhovují podmínce a_n>0 \,. Řada s kladnými členy má vždy součet.
  • Alternující řada je řada, jejíž členy pravidelně střídají znaménka. Jde tedy o řadu
\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1}\left|a_n\right|dy limitu

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Springer online, Gauss criterion

Související články[editovat | editovat zdroj]