Pythagorova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v euklidovské rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran.

Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).

Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice

c^2 = a^2 + b^2 \,,

kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a a b.

Pythagorova věta: Součet ploch čtverců nad odvěsnami (modrá plus červená plocha) se rovná ploše čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníka (fialová plocha).

Historie[editovat | editovat zdroj]

Věta byla pojmenována podle řeckého filosofa a matematika Pythagora, jenž ji v 6. století př. n. l. objevil pro Evropu, resp. starověkou Indii. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Obdélníkové náměstí má délky stran 30 a 40 metrů. Kolik metrů bude měřit cesta, která povede po úhlopříčce náměstí rovně z jednoho rohu do druhého?

Řešení: Představme si jeden ze dvou trojúhelníků, na něž cesta náměstí rozdělí.

Součet čtverců délek jeho odvěsen (stran náměstí) je 30² m² + 40² m² = 900 m² + 1600 m² = 2500 m².

Toto číslo se podle Pythagorovy věty zároveň rovná čtverci přepony trojúhelníka. Stačí je tedy odmocnit, a dostaneme délku přepony. Odmocnina z 2500 m² je 50 m, a to je hledaná délka úhlopříčné cesty.

Zobecnění Pythagorovy věty[editovat | editovat zdroj]

Nahrazení čtverců jinými plošnými obrazci[editovat | editovat zdroj]

Čtverce lze ve formulaci věty zaměnit jakýmikoliv jinými obrazci (kružnicí, obdélníkem, trojúhelníkem, pětiúhelníkem) za předpokladu, že jsou si navzájem podobné a jejich šířka je úměrná délce příslušné strany trojúhelníku. Součet obsahů těchto obrazců nad odvěsnami bude opět shodný s obsahem obrazce nad přeponou.

Že to vyplývá z formulace původní věty se čtverci nad stranami trojúhelníka, si uvědomíme, když uvážíme, že obsah každého z obrazců je díky platnosti předpokladů úměrný obsahu čtverce nad danou stranou a konstanta úměrnosti k je vždy táž díky vzájemné podobnosti obrazců i čtverců. Pokud dosadíme za plochu čtverců do vzorce k-násobek plochy obrazce, lze rovnici vykrátit číslem k a dostaneme hledané zobecnění.

Zobecnění na tři obecné vektory v Hilbertově prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pythagorovu větu lze zobecnit na jakýkoliv vektorový prostor se skalárním součinem (Hilbertův prostor). Trojúhelníkem v tomto případě myslíme tři vektory a, b, c takové, že c = b - a a že a a b jsou na sebe kolmé. Pak platí podobný vztah mezi normami těchto vektorů, jako v případě rovinného trojúhelníku:

\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,

kde \|\cdot \| značí normu na daném vektorovém prostoru.

Z této obecnější formulace lze odvodit i původní rovinnou verzi věty. Pokud rovinu chápeme jako 2-rozměrný Euklidův prostor s obyčejným skalárním součinem a v trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C označíme a = B - C, b = A - C a c = A - B (= b - a), plyne původní Pythagorova formulace ze vztahu norem vektorů, uvědomíme-li si, že v tomto případě je norma vektoru pouze délka odpovídající strany.

Zobecnění na více dimenzí[editovat | editovat zdroj]

Větu lze zobecnit i na více než dvě dimenze. Například pokud umocníme délku tělesové úhlopříčky kvádru (např. cihly) na druhou, bude se toto číslo rovnat součtu čtverců délek všech tří rozměrů kvádru. Analogické vztahy platí i v euklidovských prostorech vyšších rozměrů.

Matematicky řečeno je zde čtverec délky (normy) vektoru roven součtu čtverců jeho souřadnic v libovolné ortonormální bázi. Tuto představu lze zobecnit i na prostory nekonečné dimenze.

Kosinová věta - zobecnění na jiné než pravé úhly[editovat | editovat zdroj]

Není-li úhel mezi stranami a, b pravý, je třeba jeho velikost γ zavést do vztahu v rámci dalšího sčítance:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,

což je formulace takzvané kosinové věty. Důkaz kosinové věty lze podat rozdělením trojúhelníka na dva pravoúhlé.

Důkazy Pythagorovy věty[editovat | editovat zdroj]

Důkazů Pythagorovy věty existuje velmi mnoho (uvádí se, že až 300). Zde je několik z nich.

Důkaz č. 1[editovat | editovat zdroj]

Pythagorova věta

Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b můžeme složit dvěma způsoby (viz obrázek):

  • ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délkách stran a a b
  • ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c

Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta.

Důkaz č. 2[editovat | editovat zdroj]

Jde jen o zápis Důkazu č. 1 pomocí rovnic.

Obsah celého čtverce lze vyjádřit dvěma způsoby takto (jen pravý obrázek z pohledu čtenáře):

  • Strana čtverce je složena ze stran trojúhelníku a i b. Pro obsah tedy platí:
S = (a + b)\cdot(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2
  • Čtverec je tvořen 4 barevnými pravoúhlými trojúhelníky a bílým čtvercem se stranou c uprostřed. Obsah celého čtverce je tedy součtem obsahu 4 pravoúhlých trojúhelníků (4 ab/2 = 2ab) a bílého čtverce uprostřed se stranou c (c\cdot c = c^2).
 \ S = 2ab + c^2

Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah spočtený oběma způsoby rovnat, a tedy

 \ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2,

z čehož dostáváme tvrzení

 \ a^2 + b^2 = c^2.

Důkaz č. 3[editovat | editovat zdroj]

Lze se snadno přesvědčit, že pokud jsou zeleně vyznačené úhly v obrázku dole (DCB a DAC - jenž se rovná BAC) shodné, jsou si trojúhelníky ABC, CBD a ACD navzájem podobné (velikosti jejich stran jsou ve stejném poměru, jejich úhly jsou stejně velké).

Důkaz rovnosti úhlů[editovat | editovat zdroj]

Podobnost trojúhelníků

(a tedy podobnosti trojúhelníka):

Součet úhlu trojúhelníka musí být 180°.

V každém trojúhelníku je jeden z úhlů pravý (má 90°).

Platí tedy:


1. BAC + ACB(90°) + CBA(CBD) = 180°


2. CBD + BDC(90°) + DCB = 180°


3. DAC + ACD + CDA(90°) = 180°

z toho vyplývá, že:


1. BAC(DAC) + CBA(CBD) = 90°


2. CBD + DCB = 90°


3. DAC(DAC) + ACD = 90°


Z 1. a 3. rovnice vyplývá (BAC a DAC jsou si rovny!), že CBA(CBD) = ACD.

Pokud CBA (stejný jako CBD) dosadíme do 3. rovnice místo ACD, ze srovnání s 2. rovnicí


2. CBD + DCB = 90°


3. DAC + CBA(ACD,CBD) = 90°

pak jasně vyplývá, že:


DCB = DAC

Trojúhelníky si jsou podobné.


Související informace naleznete také v článku Generátor pythagorejských čísel.

Pythagorejská čísla tvoří trojice přirozených čísel a,b,c takových, že platí a^2+b^2=c^2. Jsou to tedy přirozená čísla vyhovující Pythagorově větě. Pythagorejská čísla jsou např. 3, 4 a 5. Pythagorejská čísla lze vytvořit podle následující věty:

Čísla a,\ b,\ c, vyjádřená ve tvaru a=x^2-y^2,\ b=2xy,\ c=x^2+y^2 pro nějaká přirozená čísla x,\ y s vlastností x>y jsou pythagorejská.

Pro x=2,\ y=1 dostaneme trojici a=3,\ b=4,\ c=5.

Pro x=3,\ y=1 dostaneme trojici a=8,\ b=6,\ c=10.

Kategorie Pythagorean theorem ve Wikimedia Commons

Jak je na první pohled zřejmé z výsledků pro první a druhý příklad, jedná se vícenásobek (v uvedeném případě dvojnásobek) vypočtených hodnot, a tudíž jde o podobné trojúhelníky, a proto uvedený způsob generování pythagorejských čísel není dokonalý. Navíc některé existující kombinace nejdou tímto způsobem vůbec vygenerovat. Některé generátory pythagorejských čísel je možné (včetně jejich odvození) najít pod odkazem.