Odmocnina

Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)

Odmocňování v matematice je inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí...), pak n-tá odmocnina z a, označovaná jako $\sqrt[n]{a}$, je definována jako objekt b, pro který platí $b^{n}=a$. Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí $\sqrt{a}.$

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla

V oboru reálných čísel uvedené obecné definici druhé odmocniny kladného čísla vyhovují dvě různá řešení, např. definici $\sqrt{4}$ vyhovují čísla 2 i –2. Proto se obvykle odmocnina na množině reálných čísel bere jen jako kladné řešení a definuje se pouze pro kladná čísla, čímž se lze vyhnout problémům s existencí a jednoznačností odmocniny.

Odmocnina z kladného reálného čísla

Pokud a, b jsou kladná reálná čísla včetně nuly, m,n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n-tou odmocninu platí tyto vzorce:

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1$

$\sqrt[1]{a} = a$

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

$(\sqrt[m]{a}) \sqrt[n]{a} = \sqrt[mn]{a^{(m+n)}}$

$\sqrt[n]{a^k} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^k = a^{\frac{k}{n}} \qquad a > 0$

Odmocnina ze záporného čísla

Pokud a patří mezi kladná reálná čísla, m mezi přirozená čísla (včetně nuly) a n je ve tvaru n = 2m + 1 (tedy je to liché číslo), pak platí:

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla

N-tou odmocninu z kladného reálného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad a > 0$

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou $a^n$. A platí tyto vztahy:

$a^m a^n = a^{m+n} \,$

$\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

$(a^m)^n = a^{mn} \,$

Příklady použití:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{2 - 1}{4} = a^\frac{1}{4}$

Odmocnina z komplexního čísla

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako $z=|z|( \cos \phi + i \sin \phi)$, případně v exponenciálním tvaru jako $z=|z|e^{i\phi}$.

Potom hledaná odmocnina je

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}e^{i(\phi+2k\pi)/n} = \sqrt[n]{|z|}\Bigl( \cos {\frac{\phi+2k\pi}{n}} + i \sin {\frac{\phi+2k\pi}{n}}\Bigr)$,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z kladných reálných čísel jsou v komplexním oboru vždy dvě opačná reálná čísla a druhé odmocniny ze záporných reálných čísel jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu ($\sqrt{\,\,}$) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421-1486) a domněnkou je, že byl převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice)

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera, se domnívají, že pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.

Související články

• Druhá odmocnina
• Mocnina