Druhá odmocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce druhá odmocnina f(x) = √x tvoří polovina paraboly souměrné podle osy x.

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Často se označuje pouze jako odmocnina. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí...), pak druhá odmocnina z a, označovaná jako \sqrt{a}, je definována jako objekt b, pro který platí b^2 = a.

Druhá odmocnina má také geometrický význam. \sqrt{a} je délka strany čtverce o obsahu S = a. Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevení iracionálních čísel.

Druhá odmocnina z reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

V oboru reálných čísel uvedené obecné definici druhé odmocniny kladného čísla vyhovují dvě různá řešení, např. definici \sqrt{4} vyhovují čísla 2 i –2. Proto se obvykle odmocnina na množině reálných čísel bere jen jako kladné řešení a definuje se pouze pro kladná čísla, čímž se lze vyhnout problémům s existencí a jednoznačností odmocniny.

Vztahy mezi druhými odmocninami kladného reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

Pokud a, b jsou kladná reálná čísla, pak platí:


\sqrt{a} + \sqrt{b}= \sqrt{[a + b + 2\sqrt{(ab)}]}

\sqrt{a} - \sqrt{b}= \sqrt{[a + b - 2\sqrt{(ab)}]} \qquad a \ge b

\sqrt{a \pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a + \sqrt{(a^2 - b)}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{(a^2 - b)}}{2}} \qquad a^2 \ge b

Hodnoty pro kladná celá čísla[editovat | editovat zdroj]

Druhá odmocnina z čísel 1, 4, 9, 16... je celočíselná. Ve všech ostatních případech je rovna číslům iracionálním.

\scriptstyle \sqrt {1} \scriptstyle =\, 1
\scriptstyle \sqrt {2} \scriptstyle \approx 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 1 milion míst, 2 miliony, 5 milionů, 10 milionů
\scriptstyle \sqrt {3} \scriptstyle \approx 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {4} \scriptstyle =\, 2
\scriptstyle \sqrt {5} \scriptstyle \approx 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {6} \scriptstyle \approx 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {7} \scriptstyle \approx 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {8} \scriptstyle \approx 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {9} \scriptstyle =\, 3
\scriptstyle \sqrt {10} \scriptstyle \approx 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 1 milion míst
\scriptstyle \sqrt {11} \scriptstyle \approx 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\scriptstyle \sqrt {12} \scriptstyle \approx 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\scriptstyle \sqrt {13} \scriptstyle \approx 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\scriptstyle \sqrt {14} \scriptstyle \approx 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\scriptstyle \sqrt {15} \scriptstyle \approx 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\scriptstyle \sqrt {16} \scriptstyle =\, 4
\scriptstyle \sqrt {17} \scriptstyle \approx 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\scriptstyle \sqrt {18} \scriptstyle \approx 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\scriptstyle \sqrt {19} \scriptstyle \approx 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\scriptstyle \sqrt {20} \scriptstyle \approx 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Odhad druhé odmocniny[editovat | editovat zdroj]

Číslo racionální menší než 100 a větší než 1 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.
2 < \sqrt{7} < 3 (22 = 4, 32 = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa. Počet skupin určí počet číslic výsledku. Skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem čísla menšího než 100 s doplněním nul do počtu skupin.
200 < \sqrt{52744} < 300 (skupiny 5'27'44 = \sqrt{5} . 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou, kdy se případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly.
0,06 < \sqrt{0,004} < 0,07 (skupiny 0,00'40' = \sqrt{40} : 100)

Výpočet druhé odmocniny, tzv. odmocňování dvěma[editovat | editovat zdroj]

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem, u kterého lze stanovit přesnost počtu desetinných míst výsledku.
Příklad s postupem výpočtu odmocňování dvěma
A. beze zbytku: \sqrt{645,16}

a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích, kdy se případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.
\sqrt{6'45,16'} (výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)
b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. (\sqrt{6} = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)
c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na des. čárku (b) a přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek) d) z čísla (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo, jinak musíme výsledek snížit o jedna a vypočítat rozdíl zbytku znova. Rozdíl zbytku je počítán ze zbytku (c) zmenšený složeninu dvojnásobkem neúplného výsledku s výsledným podílem. (24 : (2 . 2) = 6; tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,5.. a 20 zbytek)
e) opakuje se postup (c) s výsledkem (d) pokud není rozdíl nulový na určitý počet des. míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4.

Zkouška: 25,42 = 645,16.

B. se zbytkem s ukázkou výpočtu na tři des. místa: \sqrt{7} (postup je stejný s A)

a) \sqrt{7,00'00'00'} (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)
b) \sqrt{7} = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)
c) 7 - 22 = 3; tedy 3'00 ⇒ 300
d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..
e1) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.
e2) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,6452 = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: dalším pokračováním en) výsledek jen zpřesníme.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]